夹层板振动简化有限元数值分析

　　传统的夹层板是由上、下两层强度较大的薄外层表板(承载层)和充填软而轻的中间层(夹心)所组成的.这种结构具有良好的减振、隔音等功能.由于粘弹性材料在变形时耗散能量,能够减小振动峰值,因此被广泛地应用于结构的减振降噪[1]中.于是产生了一种新型的夹层结构)))约束阻尼结构.这种夹层结构与传统夹层结构的区别是:(1)根据结构的用途需要,有时夹心很薄;(2)夹层采用的是高阻尼的粘弹性材料,这种材料的模量是随频率变化的,有时为简化计算采用复模量.

　　由于约束阻尼结构可以有效地减小结构的振动和噪声,因此国内外众多学者对此进行了大量的研究.用有限元法分析约束阻尼结构时,其刚度阵:

式中:Ke为弹性层的刚度阵;Kv为粘弹性层的刚度阵.

　　对于粘弹性材料的模量是复模量的情况,可采用渐进方法求解[2].若模量是频变的,则求解将更加烦琐.

　　本文应用等效原理,将夹层板看做各向同性板,再根据结构的实际变形情况,得到弯曲和剪切的修正系数,用考虑剪切的Mindlin板单元进行求解.从而避免了求复特征值问题.

　　1 结构自由振动方程

　　结构在零输入和零初始条件下时域内的有限元方程是

　　其在拉氏域的方程是

　　对于均质各向同性材料,有

式中:E是材料的弹性模量;Ku是单位模量的刚度矩阵.

　　对于粘弹性材料,E可以是复数,也可以是s的有理分式,即模量是频变的.直接求式(3)的特征值将很困难.若利用式(4)将式(3)进行如下变换:

则原特征值问题就变为先求解一个一般的广义特征值问题,再求解一个代数问题[3],从而使问题的求解得到了简化.

　　由式(6)可得到

　　若夹层是弹性材料,s为纯虚数,其虚部即为固有频率.若夹层是粘弹性材料,则s为复数,且有下面关系:

式中:si、Ωi、Ηi分别为结构的第i阶特征值、固有频率和模态损耗因子.若粘弹性的模量是用复模量

　　常数表示的,即

式中:η为材料的损耗因子.则由式(7)和(8)可得

　　即各阶损耗因子是相同的,等于材料的损耗因子.

　　2 夹层结构的弯曲、剪切修正系数

　　本文讨论的夹层板仅考虑反对称弯曲变形情况,为此,采取如下假设:

　　(1)表板和夹心都是各向同性材料;

　　(2)夹心和表板中在板厚的方向上Ez=0,即挠度w与z无关;

　　(3)在表板和夹心中,应力分量Rz很小,可视为0.

　　Mindlin板单元是位移和转动各自独立插值的板单元.系统的总位能可以表示为[4]

式中:是不考虑剪切时系统的总位能.如果没有给定的边界外力作用,则