混合支撑三角形板受集中载荷的弯曲

　　0引言

　　在工程技术中,弹性薄板的弯曲问题具有重要的实际意义。很多学者在这方面做了大量的工作,但由于数学上的困难,很少涉及各种支承形式和荷重作用下的三角形板,更少涉及到复杂边界条件下三角形板的解析解。文(1)应用源象法和叠加原理,研究了简支等边三角形板和简支等腰直角三角形板的弯曲问题。本文将应用功的互等定理,进一步研究在任意一点作用一集中载荷时,斜边简支一边固定一边自由的三角形板的弯曲问题,给出该问题的解析解。

　　1斜边简支一边固定一边自由的三角形板挠曲面方程

　　为计算三角形板的弯曲，取在流动坐标(ζ,η)功点处有一单集中力作用的四边简支矩形板的一半为基本系统，如图1所示。取斜边简支一边固定一边自由、在任一点((x0, y0)处有一集中载荷作用的同一直角形板为实际系统，如图2所示。

　　对于实际系统，解除固定边的弯曲约束，这一约束被分布弯矩

所代替，如图3所示。假设自由边挠度和简支边转角及等效切力方程分别为

　　在图1所示基本系统与图3所示实际之间应用功的互等定理，则可得到作为实际系统的三角形板的挠曲面方程为

令

　　于是得到

　　由文献[2]的式(2.11)，有

　　当时，在应用式(7)时，b-y0必须y0代替，η以b-η粉代替。

　　由文献[3]的式(1)、式(2)，文献[2]的式(1)、式(2)和本文式(3)、式(4)，可得到

　　注意到文献(2)的式(2.14)和文献[4]的式(10)，有

式中代入式(6)，便得到三角形板挠曲面的一般方程。

　　2边界条件

　　挠曲面方程式(6)必须满足下述边界条件

　　为了满足这些边界条件，必须做一系列相应的计算，并将一部分表达式的双曲函数展成三角级数。经整理，最后得到

　　式(19)中Mn1的表达式由文献[2]的式(3.9)确定，Mn2和Mn4的表达式分别由文献[2]的式((3.11)和式(3.12)确定。至此，得到一无穷线性联立方程组(16)一(19)。根据这些方程，能够计算出系数Em , an, am和bm，进而能够分别算出挠度、内矩分量，内力分量和内应分量。对于给定的具体问题，作用于三角形板上的集中载荷的作用点(x0，y0)是已知的，因而问题是可解的。

　　3结论

　　本文应用功的互等定理给出了斜边简支一边固定一边自由的三角形板受集中载荷作用的解析解。由于本文以己被求解的受单位集中载荷的简支矩形板的一半为基本系统，因而计算过程比较简单。本法还可用于求解在复杂载荷作用下具有复杂边界条件的三角形板的弯曲问题。它是求解弹性薄板的一种有效方法。