弹性地基上自由边圆厚板受偏心集中力弯曲的级数解

1　基本微分方程和边界条件

设厚圆板半径为R,厚度为h,周边自由,置于Win- kler地基上,在极坐标为(Rξ,0)(0≤ξ≤1)的点处受有 集中力P的作用。引入无量纲变量ρ=rR,由Reissner 模型建立的Winkler地基上厚圆板在极坐标下的基本微 分方程为:

2　函数ω,ψ和载荷的级数形式

3　在给定的边界条件下求解基本微分方程

3.2　把(18)式代入方程(8),把其中的ρm展为Bessel级数,可得:

3.3　考虑边界条件(14)式

把(17)(18)式代入边界条件(14)式,注意到(20)(21)式,可得到下列方程:

3·4　考虑边界条件(15)式

把(17)(18)式代入边界条件(15)式,注意到(20)(21)式,可得到下列方程:

3.5　考虑边界条件(16)式

把(17)(18)式代入边界条件(16)式,注意到(20)(21)式,可得到下列方程:

联立求解由(22)(23)和(24)式构成的方程组,即可确定待定系数Am,Bm和Cm。此方程组的 特点是每3个方程自成一组,即每对应一个m值,就由(22)(23)(24)式组成一个三元代数方 程组,正好解出对应此m值的Am,Bm和Cm3个待定系数,不需要解大型联立方程组,因而数 值计算工作量很小。待定系数Am,Bm和Cm确定后,代入(20)(21)式可确定待定系数ωmn和 ψmn,从而完全确定了函数ω和ψ。由ω和ψ可求出挠度ω和各内力素Qρ,Qθ,Mρ,Mθ和 Mρθ。

4　算例

Winkler地基上自由边圆板受偏心集中力的弯曲问题按Reissner厚板理论求解尚未见有现成的算例可作比较。为此,本文作如下2个算例:

算例1　取ξ=0·125,μ=0·3,γ=1·0,依次取0·2,0·1,0·01,0·001,经过圆心和集中 力作用点处的直径上各点的挠度计算值列入表1。表1中同时列入按薄板理论求得的Win- kler地基上受偏心集中力作用的自由边圆薄板的相应挠度值,以资比较。 集中力P作用点(ρ=0·125)处挠度的厚板解ω与薄板解w*之间的误差值(△= )列入表2。

算例2　取ξ=0,μ=0·3,γ=1·0,依次取0·2,0·1,0·01,0·001,圆心处的最大挠度计 算值由表3给出。表3同时给出了文[5]的Winkler地基上Reissner圆厚板受中心集中力弯曲 问题的计算结果和相应问题的薄板解[1],以资比较。

参考文献

〔1〕　严宗达.结构力学中的富里叶级数解法.天津:天津大学出版社,1989.