阶梯式变厚度旋转轮盘的应力解析解

　　轮盘是机械中常见的零件.为减小离心力、减轻重量和节约材料,在高速旋转的机械中,通常将轮盘的厚度设计成随半径呈阶梯式变化.例如汽轮机、燃气轮机中所采用的实际轮盘常常是由若干厚度各不相同的等厚度轮段组成.

　　由于旋转轮盘的基本微分方程属非线性常微分方程,因此分段求解是极其繁冗的,在汽轮机设计中通常采用二次查表解法近似计算^[1].

　　本文通过变换将阶梯式变厚度旋转轮盘的基本微分方程化为以参变量表示的线性常微分方程,然后用初参数和W运算符来表述和求解该微分方程,不论轮盘划分为若干段,仅需求解2个初参数即可获得定解,大大简化了轮盘内任意点的位移和应力的表达及计算.

　　1　微分方程

　　图1为由n个等厚度轮段组成的轮盘,各轮段的厚度分别为hi(i=1,2,…,n),轮段衔接处的半径分别为ri(i=1,2,…,n-1),轮盘的内径为r0,外径为rn.轮盘的密度为ρ,弹性模数为E,泊松比为μ,旋转角速度为ω.

　　变厚度圆盘以角速度ω旋转时的平衡方程为^[2]

　　式中,σr为径向应力,σθ为环向应力,h(r)为圆盘厚度变化函数

　　则在满足下列条件下

　　于是,求解微分方程(6)就归结为求解满足条件(8)、(10)下的微分方程(9),此即为阶梯式变厚度旋转轮盘的位移的基本微分方程.

　　2　位移和应力

　　2.1　位移表达式

　　满足条件(8)、(10)的微分方程(9)的通解为

　　2.2　应力表达式

　　将式(11)、(13)代入式(2),即可得阶梯式旋转轮盘的径向和环向应力的表达式

　　3　算例

　　图2所示为国产200 MW汽轮机中压缸转子的轮盘.轮盘由两个轮段组成(即n=2), r0=5 cm, r1=24.75 cm, r2=45.7 cm,厚度h1=18.75 cm, h2=8.6cm.已知轮盘内径处的径向压力为0,外径处由叶片及轮缘部分产生的离心力p=31.9 MPa.汽轮机转子的转速为3000 rpm,轮盘材料的E=212 GPa,μ=0.3.密度ρ=7.85×103kg/m3,求轮盘的应力.

　　参　考　文　献

　　1　丁有宇,周宏利,徐　铸,刘振田.汽轮机强度计算.北京:水利电力出版社, 1985. 362～415

　　2　Timoshenko S, Goodier J N. Theory of Elasticity, 3rded. McGraw-Hill,1970.§32

　　3　Kanwal R P. Generalized Functions. Academic Press,1983. 20～51

　　4　王燮山.奇异函数及其在力学中的应用.北京:科学出版社, 1993. 52～59

　　5　吴厚钰.透平零件结构和强度计算.北京:机械工业出版社, 1983. 127～145