计算转子惯性张量的节点分析法

　　在流体机械设计中,转子惯性张量(轴转动惯量、赤道转动惯量)的计算,对于预测转子的动力特性和轴系振动分析(陀螺效应、临界转速、稳定性)具有重要意义。过去,有许多设计部门常采用“分段法”和“试凑法”,这在转子状比较复杂的场合,不仅费时而且不易达到较高精度。

　　受应力分析中有限单元法[2]的启示,文献^[1]提出了一种称之为“梯形单元法”的数值方法:将旋成体的子午截面划分成一组梯形网格进行离散,导出单元旋成体的质量几何方程,然后对所有单元和所有节点进行双重求和可求得转子的轴转动惯量J(z)、赤道转动惯量J(R)、转子总重量W以及形心座标Zc。

　　文中所提出的多边形节点法,与梯形单元法相比,更为简单实用,只需对所有节点求和,而可免去单元求和,按此法编制的通用程序非常简明,可适用于各种形状的旋成体。

　　1　三角形单元旋成体的质量几何方程

　　为了建立三角形单元旋成体(图1)的质量几何(总质量、形心位置和转动惯量)方程,应首先导出联结子午面上任意两节点p,q及其投影点p′,q′的四边形(图2)绕z轴回转所得旋成体V(p,q)的质量几何方程。按斜截式,可将联结p,q的直线方程写为:

这样,按质量几何的可加性,即可将图1中三角形ijk所生成的旋成体对z轴之转动惯量表示为

计算旋成体的总重量W和形心座标Zc分别表示为:

　　式中ρ表示重量密度。

　　2　多边形节点法

　　从外形上看,转子质量几何方程(4)～(7)均需进行“双重求和”但事实上,由于在单元求和时,相邻单元均有一条公共边(图3)。于是,当取子午截面上任一内点t作为“基点”时,便可将(4)式写成(相邻边求和方向相反可消去):

　　这样,将(8)～(11)诸式编写程序在微机上操作,就要比梯形单元法简便得多。实例分析:图4为某实际转子的子午截面的近似形状(转子的曲周边可用折算多边形逼近),试计算其重量、形心位置及转动惯量。已知材料的重量密度ρ=0.077 6 (N·cm-3)

　　计算程序非常简单。首先在座标纸上赋予节点编号(1～12)并标出各节点的r座标和z座标如表2所示,然后按公式(8)～(11)借助微机即可算得所需要的转子质量几何参数

　　3　结　语

　　文中提供了一种经改进的计算转动惯量的数值方法,只须输入转子折算多边形节点的座标和材料密度,即可电算求得转子的重量、形心位置以及关于对称轴及赤道轴的转动惯量。根据这种计算方法所设计的通用程序简单实用,而且可达到任意指定的精度,故适用于各种复杂形状的轴对称回转体。