柔性机械臂两点边值逆动力学方法——-理论分析和实验结果

　　引　言

　　工业机器人或机械臂的轻质、柔性化,一方面提高了工作效率和机动性,另一方面使弹性振动问题更加突出.振动严重影响其正常工作和精确定位.有多种途径来减小或消除柔性机械臂的弹性振动,其中振动的主动控制是有效方法之一,已经提出了多种控制策略^[1~5],　但由于柔性机械臂强耦合、强非线性的复杂动力学特征,实时控制中诸如状态重构、可控性、稳定性、实时性等问题还没有得到很好的解决^[6].

　　近几年提出的柔性机械臂逆动力学方法^[7]是通过直接设计其铰键处的开环输入在实现机械臂点-点位置运动或跟踪优化轨迹的同时有效地降低或消除弹性振动.柔性机械臂逆动力学方法避免了主动控制中所遇到的困难问题,是一个很有前景的研究方向,但由于刚刚提出,还没有建立完善的求解方法.Bayo等人^[7,8]提出了基于有限元模型的频域迭代方法,完成了单连杆和双连杆柔性机械臂的逆动力学分析并进行了简单的实验验证;Meckl,　Seering和Singer提出了修正力矩法^[9~11]和动态滤波方法^[12~13],　但这些方法或者依赖线性模型、算法复杂,或者仅是弹簧-质量简化模型的结果,难以推广到一般柔性机械臂的强耦合、强非线性情况.

　　柔性机械臂或多柔体系统一般为连续的无穷维动力学系统,为处理方便,在一般的动力学分析与控制应用研究中,需将其模化为有限自由度系统.建立柔性机械臂动力学模型的首要任务是模化弹性体的相对弹性变形.一般说来,有限元方法的适用面较广,不受弹性体形状限制,但所得的动力学方程较为复杂,响应计算运算量较大^[8];而由Ritz基函数展开法结合模态截断技术,可得到较低维数的系统模型,因而被广泛地应用于控制系统的设计^{[1,2,4,5,7,9~12,17~20],}但应注意未模化模态的稳定性问题^[21].

　　将柔性机械臂的有限维动力学方程化为状态空间描述,然后应用最优控制理论中的极大值原理将柔性机械臂的点点位置运动和振动抑制问题归结为非线性两点边值问题的求解.边值条件由机械臂的初始状态和要求的点位运动或追踪的轨迹及弹性变形条件给出.为了有效地求解非线性两点边值问题,作者提出了模型递推算法^[16]作为对拟线性化方法^[14]的改进和推广.本文提出的两点边值逆动力学方法不受模型限制,可处理一般柔性机械臂的强耦合、强非线性情况.

　　1　点位控制两点边值逆动力学方法

　　柔性机械臂的非线性状态方程可写成一般形式如下^[16]

　　式中,状态向量X=(θT,qT,.θT,.qT)T,θ为描述刚体运动即各连杆间相对转动及滑移坐标构成的向量,q为描述各连杆相对弹性变形的广义坐标向量,U为机械臂铰键输入构成的向量.如果要求柔性机械臂在关心时间[t₀,t_f]内位形由θ₀转变为θ_f,并且要求机械臂在tf时刻后完全处于静止状态,只有使