矩形屈曲板受微扰时的浑沌现象

　　l引言

　　众所周知.浑沌现象是广泛存在的，它可能出现在任一非线性动力系统中.由于有限维特别是低维系统在相空间中的几何图象比较直观，研究它们的浑沌间题比较容易.然而连续介质动力系统都是无限维的，对它们进行研究就变得非常困难.近年来，人们发现可以将无限维的问题变为有限维的问题进行处理，这样导致了大量关于连续介质系统浑沌问题研究成果涌现出来(1-2」.但是到目前为止，就我们所知，研究工作主要集中梁的问题上(3一7〕，而对板和壳的浑沌振动问题很少涉及.下面我们将通过一个具体例子说明如何确定弹性矩形薄板可能发生浑沌振动的外部激励的阂值.这种方法也可以用于解决具有其它边界条件和载荷工况的类似问题.

　　2问题的表述

　　四边简支的弹性均质矩形薄板如图l所示，

　　承受板中面内力N及横向载面的共同作用，所有边界上只允许有转动.板的控制方程为

　　上式中环为板的挠度，环上面的“·”表示对时间t求偏导数，下标x、y则表示对坐标:x、y求偏导数，x为正的无量纲的小参数，D是板的弯曲刚度，l)为板的质量密度，并且通过适当选择单位使/，/D等于!，g为变形前板中面所占据的区域，亦即矩形口A汉”，T为板中面发生单位面积改变所需要的薄膜张力，。为外载荷的频率，八为阻尼系数.边界条件是

　　对于f(x，y)不是(5)而为一般载荷的情况，方程(1)的解的主要项仍如(4)所示，即受迫振动发生于屈曲模态附近.相应的W。仍为(1钓式.此时我们可以采用Melnikov一Holmes方法确定板发生浑沌振动的条件.方程(1)可以重新写成如下的有扰动的动力系统

　　上式中f。为补充项，增加这一项的目的是消除可能存在的某些不连续性以及改善级数的收敛性能.带补充项的富里叶级数的完整的理论分析及其在固体力学中的应用可参考严宗达教授的著作仁8刁.为简单起见，假定载荷函数沿板的四边均为常数，则补充项可取作最简单的形式，即.f。为常数.经过一些数学运算我们得到

　　根据Melnikov函数(10〕的儿何解释.容易算出板发生浑沌的临界条件为

　　从图5可以看出:当A一30召，即大于其临界值28.8575八时，其相图不会趋于任何周期轨道，所以板将发生浑沌振动.

　　4结论

　　(l)如果对最低阶振型及载荷展开式的确定方式作适当的修改，本文方法可以用于具有各种其它不同载荷工况及边界条件的类似问题.

　　(2)导致浑沌振动发生的关键因素有两个，一是提供非线性项的薄膜力，另一个则是提供非自治项的外部扰动.可以认为，任何一个同时具有以上两种因素的实际的动力系统都可能出现浑沌现象.