均布压力作用各向异性矩形薄板大挠度问题

　　文摘基于冯·卡门模型，选择中心挠度为摄动参数，利用摄动方法将正交异性矩形薄板大挠问题的非线性偏微分方程组逐级线性化，导出了各级摄动对应的几个线性偏微分方程组，然后再借助变分法求解，得到了均布载荷作用下正交异性矩形薄板的载荷一挠度曲线。

　　1引言

　　复合材料因具有很高的比强度、经刚度和良好的可设计性等等优点，使其在航空航天领域得到了广泛的应用。为了能更充分地发挥复合材料的诸多特长，工程中要求对其结构进行精确的分析。复合材料薄板是航天动力中使用最多的结构之一，为满足航天产品高性能、高可靠性的要求，对其进行精细的分析显得尤为重要。

　　文献(1)对多种薄板的解析解法做了详细的论述。文献[2]针对周边固定矩形薄板提出了一个大挠度问题的摄动变分解。这个方法的最大优点是便于数值求解，而且待求未知量少。但由于它仅限于各向同性材料和矩形外形，故应用受到了限制。本文将它推广到解各向异性矩形薄板，因此能广泛应用到复合材料中去。

　　本文导出了各向异性矩形薄板大挠度间题的各级摄动方程以及相应的泛函表达式，最后利用泛函的驻值条件得到了数值解。

　　2基本方程

　　考虑膜力影响薄板控制方程为

　　其中，对于复合材料层合板，物理方程为

　　几何关系为

　　下面仅讨论等厚度正交异性板(相当于正交对称铺层)，这时藕合刚阵〔B]为零，且一般表达式为(N为层数)

　　上式中的刚度系数与主轴刚度系数，的转换关系为

　　由上可得正交异性薄板的内力一位移关系

　　因此由(7)和(1)式可写出位移形式表示的大挠度方程组

　　对于周边固定薄板，边界条件为

　　3摄动变分法

　　图1表示均布载荷9作用下的周边固定正交异性矩形薄板。长为2a，宽为26，板厚为h_o

　　现用U(x,y),V(x,y)和W(x,y)表示x,y和z方向的位移。

　　引入无量纲符号

　　代入控制方程和边界条件，得控制方程为

　　边界条件(9)的无量纲形式为为了简便，下面公式用

　　板的中心挠度为的幂级数形式(考虑到膜位移和弯曲位移之间的协调性)

　　其中w展开式中的系数必须满足条件

　　将(13)代入(11)式，然后比较各等式两边w。的同次幂系数并使之相等，便得到各级摄动方程组。

　　a.使w₀的系数相等得到第一级摄动方程