圆度误差评定方法的研究

    0 引言

    圆度是最基础的机械零件的几何要素之一。在制造环境中，圆度误差产生的原因有不精确的旋转、不稳定的切削力、润滑不足、刀具磨损和卡盘爪不对齐等。圆度误差是否评定准确，将直接影响到机械产品的性能和寿命。圆度测量有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法等方法。

    GB － T 7235 － 2004《产品几何量技术规范(GPS) 评定圆度误差的方法 半径变化量测量》中规定，圆度误差的评定方法有: 最小外接圆法、最大内接圆法、最小区域法和最小二乘圆法。本文将对这 4个圆度误差评定算法进行论述。

    1 圆度评定方法

    1. 1 最小区域圆法

    最小条件是指被测实际要素对其理想要素的最大变动量为最小。最小包容区域是指包容被测实际要素并且具有最小宽度或直径的区域，即满足最小条件的区域。

    在此方法中，需要参考两个圆评定圆度误差。一个圆在被测圆轮廓外，一个圆在被测圆轮廓内，并且都与轮廓相接。圆度误差即是两个圆的半径差。最小区域圆法评定原理如图 1 所示。

    1. 2 最小二乘圆法

    最小二乘圆是个理想圆，满足以下条件: 实际被测圆轮廓上各点到该理想圆的距离的平方和为最小。其评定原理如图 2 所示。最小二乘圆的中心是独一无二的，因为只有一个点能满足以上定义。手工计算最小二圆费时费力，但是新的计算机等工具极大地简化了这个过程。

    1. 3 最大内接圆法

    最大内接圆法是以内接于被测圆轮廓且半径为最大的内接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓两同心圆的半径差即为圆度误差。

    1. 4 最小外接圆法

    最小外接圆法只适用于外圆。以包容被测圆轮廓且半径为最小的外接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆半径差即为圆度误差。

    2 数学模型

    圆度误差的评定可以通过求解非线性无约束优化问题来实现。只要正确地建造目标函数的数学模型，利用 MATLAB 优化函数即可评定圆度误差。

    fminsearch 和 fminunc 是 MATLAB 中关于无约束非线性优化问题的两个函数，用来求解函数的极小值。前者是利用了单纯形法的原理，后者是利用了拟牛顿法的原理。

    2. 1 最小区域圆法的数学优化模型

    最小区域圆法是以最小区域圆作为评定基准圆，按此方法求得圆度误差值 ΔZZ，即: