评定平面度误差的算法与实现

    0　引言

    平面度是形状公差的主要项目之一,平面度误差对产品质量和使用寿命有重要的影响。GB 11337-2004对平面度误差的定义是实际平面对其理想平面的变动量。理想平面是评定平面度误差的评定基准,而评定基准的不同求得的平面度误差值也就不同。笔者将计算机软件技术融入评定平面度误差中,以提高平面度误差评定效率和准确性。

    1　平面度误差的评定方法

    通过各种测量方法测量获得被测平面的反映实际形貌的参数后,更重要的是要评定计算出其平面度误差的数值。

    平面度误差的评定方法较多,常用的有最小二乘法、对角线平面法、三远点平面法、最小包容区域法。下面分别介绍前三种评定方法的数学模型和算法实现。

    1.1　最小二乘法

    最小二乘法是以最小二乘平面作为评定基准的方法,该方法简便易行,长期以来在学术界十分流行,并被英、美等国家所采用。

    设被测平面上任一点的坐标值为Mi(xi、yi、zi),理想平面的方程为:z=Ax+By+C。按最小二乘法的基本思想,由测量点拟合的该理想平面应使测量点到该平面的坐标值的平方和最小。故有目标函数:

    使S取极小值的必要条件是:

    因此得出方程组:

    式中:N——测量点的数目。

    求解这个三元一次方程组从而可以确定A、B、C的值,即确定了理想平面的位置,再将各测点相应的坐标Mi(xi,yi,zi)代入平面方程,即可得对应的z方向坐标值,所以平面度误差为:

f=max(zi-z)-min(zi-z)。

    1.2　对角线平面法

    对角线平面法是指以对角线上4个角点的坐标值构成评定基面,求出平面度误差值。设定该平面通过一根对角线M1M2,并且平行于另一根对角线M3M4。4个角点坐标分别是M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)、M3(x3,y3,z3)、M4(x4,y4,z4),这时该平面的方程为:

    假设该平面的方程为:

    Ax+By+Cz+D=0。

    其中,x、y、z的系数为平面的法向量。根据上面的矩阵,可以求出系数A、B、C、D:

A=(y2-y1)(z4-z3)-(y4-y3)(z2-z1),

B=(x4-x3)(z2-z1)-(x2-x1)(z4-z3),

C=(x2-x1)(y4-y3)-(x4-x3)(y2-y1),

D=-(Ax1+By1+Cz1)。

    被测面上的zi点在评定平面上的投影点的z坐标为:zi′=-(Axi+Byi+D)/C,则zi点对评定基面的偏差Δzi=zi-zi′=zi+(Axi+Byi+D)/C。Δzi中最大值Δzimax与最小值Δzimin之差为平面度误差:

f=Δzimax-Δzimin。