基于方程的椭圆轮廓度的评定

    工程中许多平面曲线轮廓具有重要作用,如渐开线、椭圆、抛物线和摆线轮廓等在工程中被广泛应用,因此曲线轮廓度测量、识别和误差评定成为轮廓度测量的重要内容.出现了评定曲线轮廓度的方法:在小偏差和小误差假设条件下,建立测点到曲线的描述函数[1],按置换算法或最小二乘法求曲线轮廓度误差;利用微分几何的活动坐标及曲线上一点邻近结构理论,建立测点到理想轮廓的距离函数[2]和线轮廓度误差最小条件的统一模型,用有效集法求曲线轮廓度误差;基于最小二乘法、结合样条插值函数和优化技术的平面线轮廓度误差评定的方法[3];采用对应特征点法、DFP及一维搜索法的自适应调整的线轮廓误差评定方法[4];采用样条函数、遗传算法、最小二乘法和优化技术的线轮廓误差评定方法[5];采用曲线的最佳匹配和点到平面自由曲线最短距离,建立线轮廓度评定的数学模型和算法[6]及评定自由曲线轮廓度误差的逐次逼近法[7].

    作者利用椭圆的数学方程,采用内包容和外包容的方法,实现最大实体条件下椭圆轮廓度的误差评定.

    1 椭圆线轮廓度的模型

    最小外接椭圆法(最大内接椭圆法)指所有的测量点被包容在最小外接椭圆Co(最大内接椭圆Ci)和其等距曲线To(Ti)之间,且二者具有最小法向距离的评定椭圆误差的方法,如图1所示.一般情况下,有5个点在最小外接椭圆(最大内接椭圆)上,1个点在其等距曲线上,这6个点被称为最小外接椭圆(最大内接椭圆)的特征点.描述空间任意位置椭圆的参数为:椭圆的圆心(x0,y0)、长半轴a、短半轴b和主轴转角H.

    2 基于代数方程的椭圆轮廓度的评定

    椭圆的一般方程为

F(x,y)=x2+2Axy+By2+2Cx+2Dy+E=0(1)

    给定测量点P(xi,yi)(i=1,2,3,,,n),从中取5个点来确定椭圆,该椭圆将测量点分为2部分

    最小外接椭圆(最大内接椭圆)的特征点只能存在于D+j(D-k)中,从D+j(D-k)中选取最大值点$D+=max{D+j}(最小值点$D-=min{D-k}),用该点来代替上述5个点中的1个点,重新代入方程(1),直至满足

    则椭圆的线轮廓度误差为

fo=max{dk}(最小外接椭圆)或fi=max{dj}(最大内接椭圆)

    式中,dk是D-k中第k点到最小外接椭圆的距离;dj是D+j中第j点到最大内接椭圆的距离.

    3 椭圆参数的计算

    根据最后迭代得到的最小外接椭圆(最大内接椭圆)的5个特征点,由方程(1)计算参数A、B、C、D和E,根据这些参数计算椭圆的参数,其中椭圆中心(x0,y0)满足下列方程组