基于多目标优化的空间直线度误差评定

    1 引 言

    直线度误差是指实际直线对其理想直线的变动量。直线度误差可分为给定平面内的直线度误差、给定方向内的直线度误差以及空间直线度误差。目前,给定平面内的直线度误差和给定方向内的直线度误差的评定技术已较为成熟,而实际上,大多数直线是空间直线,对直线度误差的评定应在三维空间里进行分析,但人们对于空间直线度误差的研究仍处于探索阶段[1-10]。文献[1]提出了用最小平行六面体包络的方法计算空间直线度误差,但只能提供误差计算的近似值。文献[2-3]建立了在穷举法基础上的解非线性方程组的方法,此法不仅效率低而且不能求解退化情况的空间直线度误差。文献[4-5]建立了极大极小化模型,用优化的方法计算空间直线度误差,但是对此非线性优化问题借助线性优化或线性化的优化方法解决,其精度或效率不理想。文献[6-7]提出了基于遗传算法(Genetic Algorithms, GA)的空间直线度误差评定的方法。遗传算法虽然能够解决传统算法存在的不足,但是其计算结果与变量初始变化范围的选取及其算法的参数选择有很大关系,算法的鲁棒性欠佳[8]。近来也有学者提出了进遗传算法[9]、基于粒子群算法[10]等评定空间直线度误差方法。

    本文指出,根据最小区域条件评定空间直线度误差,本质上是多目标优化的极大极小问题,并将其转化为通常的单目标规划问题,然后采用逐次二次规划法(SQP)求解。这一单目标规划问题以统一的方式处理了通常情况和退化情况的直线度评定。而且,SQP法在求解中能保留非线性的信息,对初始参数的要求低,且稳定、可靠、优化效率高。

    2 数学模型

    设测量基准为z轴,被测空间直线的测点以坐标(r,H,z)给出。r,H为测量点到测量基准的实际偏差,z表示测点的位置高度。空间直线度误差的最小包容圆柱以/倾斜圆柱0表示,如图1所示,它的轴线为O1O2,亦即理想直线。在z=0平面内,轴线O1O2过点O1(x0,y0)。轴线O1O2在XOZ平面上与z轴的夹角为A,在YOZ平面上与Z轴的夹角为B。由于在精密测量中(x0,y0,a,b)值很小,故有tanA=A,tanB=B。测点P到轴线(理想直线)O1O2的距离(即理想偏差值)为R:

    R是两组变量(r,H, z )和(x0,y0,A,B)的函数。(r,H, z)表示测量点的坐标,用v表示。(x0,y0,A,B)描述理想直线O1O2的位置和方向,用u表示。那么式(1)可表示为:

R = R(r,H,z;x0,y0,A,B) = R(v,u). (2)

    测点P到理想直线的最大距离即最大理想偏差值,它表示外包容圆柱的半径,记为?R(u):

?R(u) =max{R(v,u);vIV} =max{R1,R2,R3,,,Rn},(3)

    式中,V为形成变量(测点)v的集合,iI{1,2,,,n},n为测点数。