Matlab在形位公差评定中的应用

    一、引言

    Matlab是集数值计算、符号运算及图形处理等强大功能于一体的科学计算语言。作为强大的科学计算平台,它几乎能够满足所有的计算要求。在美国及其它发达国家的理工科院校里,Matlab已经成为一门必修的课程,在科研院所、大型公司或企业的工程计算部门,Matlab也是最为普通的计算工具之一。

    Matlab拥有强大的科学计算及数据处理能力,600多个数学运算函数,可以方便地实现各种计算功能,它能解决的问题主要包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及微分方程组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程的优化问题等等。

    在几何量测量形位公差评定中,我们经常会遇到各类计算问题,如果这些问题用其它高级语言(如:VC、VB、FORTRAM等)求解,不但工作量很大,而且很容易出错。如常遇到的最小二乘拟合(诸如:最小二乘直线、最小二乘平面、量小二乘圆等),当这些拟合中数据点分布是有规律时(如等间距直线分布、等间距网格分布、等角度间隔分布),我们可以套用现成的公式求解,但如果数据点是任意分布,则拟合的编程工作量就很大了。而用Matlab却可以很轻松地完成此类计算,下面就这些问题做较详细的说明。

    二、最小二乘直线、平面求解

    直线和平面其方程都是线性的,有着相同的规律,唯一的不同是平面方程多一个变量。直线和平面方程我们可分别用以下公式表示:

x2=a1x1+a2(1)

x3=a1x1+a2x2+a3(2)

    其中x1、x2、x3分别代表3个X、Y、Z坐标轴上的变量,a1、a2、a3为常量,在直线方程中a1就是斜率,而a2是截距。

    如果我们则量n(n>3)个点来评定一条二维直线的直线度或一个平面的平面度,采用常用的最小二乘法评定的前提是求得这些点拟合成的最小二乘直线或平面,下面就以最小二乘平面来说明求解方法。

    设(xi1,xi2,xi3)为第i(0<i[n)个数据点,将这些数据带入式(2),得到n个方程,联立形成3个未知变量(a1,a2,a3)的n维方程组。

    将以上方程组用矩阵表示如下:

X3=X1,2A(3)

    其中X3=(x13, x23,,, xn3)T,A=(a1, a2,a3)T,

    根据相关知识,求解下面3维的3元方程组,可得到解向量A。

    这样我们通过超定方程的矩阵求解,可以得到所求最小二乘平面的3个常量a1、a2、a3。

    当用Matlab求解以上过程时,只需列出(3)式中的矩阵X1,2和向量X3,做一个简单的矩阵除法A=X3X1,2,Matlab会自动用超定方程组的最小二乘法求解出解向量A。如果用其它语言实现以上过程,必定在求解式(4)时求解一个逆矩阵,过程相当繁琐。以下列举了一个任意点平面度的求解程序。