尺寸公差与形位公差优化设计的模型研究

　　1 引言

　　近年来,CAT技术已成为CAD/CAPP/CAM集成中的关键技术之一。然而以前对CAT的研究主要集中于尺寸公差,其数学模型是以加工成本为目标、以设计和装配技术要求为约束条件的,但对与尺寸公差具有同等重要地位的形位公差考虑甚少,因此需要建立同时考虑尺寸公差和形位公差的新设计模型。本文拟以不匹配率为基础,研究包括尺寸公差和形位公差的综合优化设计模型。

　　2 不匹配率

　　美国于1994年颁布了关于公差的数学标准[4],严格地定义了大部分形位公差,消除了文字定义中所存在的二义性,使形位公差的计算机辅助优化设计可以有严格的数学基础。形位公差的优化设计包括两方面内容:形位公差类型的选择和形位公差大小的确定。任何一个零件在其加工中都会不可避免地产生尺寸、形状、位置上的误差,如图1(b)是图1(a)中配合的槽表面的微观真实形状。它可以由满足加工分布规律的若干个点近似地表示。为了最终满足装配功能的要求,必须给予一定的尺寸公差和形位公差的限制。取其表面上的任意两点l1、l2,为优化尺寸公差[5],可画出图2(a)来具体表示公差与装配功能要求的关系(画出了两维的情况,对于三维以上的情况,无法用图表示,但可以用数学表达式来描述和表示)。

　　由图2(b)可知,如果形位公差设计合理,那么在检测中,可以将所有的不合格品(即不满足装配要求的零件)全部检测出来,而装配后所有的装配件均能满足功能要求;反之,能使装配成功,即达到预定功能的所有零件,则必须全部是合格品。在图2(c)中相交部分的空间域Rm为:

　　其中:Rm是装配功能要求与形位公差要求不一致所引起的不匹配域;Rs是装配功能要求所围成的安全域;Rg是形位公差要求所围成的形位公差域;Rt是尺寸公差要求所围成的尺寸公差域;Rm是一个不规则的超多面体,无法精确计算其值。设表面上的点lj(j=1,2,,N。N为随机槽宽的个数)的概率密度函数为u,则零件处于不匹配域中的概率为:

　　其中u为联合概率密度函数。

　　定义该概率为形位公差与装配功能要求的不匹配率。

　　3 尺寸公差与形位公差优化设计模型

　　3.1 尺寸公差优化设计模型

　　要使尺寸链装配成功,则必须使尺寸矢量X_落在图2(a)装配功能要求与尺寸公差要求的交集域RR(称为可靠域)内,尺寸矢量落在可靠域RR中的概率称为装配成功率。对于一个装配尺寸链,若所有零件均按尺寸公差要求加工时,当其组成环公差值Ti减小时,尺寸链的装配成功率P(RR)将增加,同时其加工总成本C(T_)亦增加。因而如何合理分配公差,以便在满足约束条件下使得总成本最低,是一个需优化的问题[1]。数学上可表示为: