箱形梁声辐射问题的半解析方法

    箱形梁声辐射问题的研究本质是结构流固耦合声辐射问题,它一直是结构声学和控制领域的前沿问题,也是各国学者公认的难题,至今仍未解决好[1-4]。前人所做的工作[2-4]大多集中在军事和机械领域中规则壳体(如圆柱壳、球壳)的研究上,其主要原因是周向变曲率结构解析求解十分困难。但是城市高架轨道箱形梁产生以低频噪声[1]为主的/二次噪声0严重影响了沿线居民的正常生活和沿线高科技生产企业、医院和科研机构等单位中高精密仪器的日常使用。因此,控制和降低城市轨道交通的振动和噪声具有十分重要的现实意义,也可以进一步了解城市高架轨道箱形梁的声辐射特性,对已建线路的噪声控制及待建线路噪声的前期预测和箱形梁截面的优化设计都具有十分重要的意义。作者基于齐次扩容精细积分法[5]和求解二维Helmholtz外问题的复数矢径虚拟边界谱方法[6],通过Fourier积分变换和稳相法来研究箱形梁声辐射问题,提出了一种具有较高效率和精度的求解空气中无限长混凝土箱形梁声辐射问题的半解析方法,得到了箱形梁声辐射问题的半解析解。

    1 箱形梁状态微分方程组

    空气中无限长混凝土箱形梁计算模型如图1所示,采用?c½Îµ¶¿³¶»¹¶Â壳体理论[7],假设箱形梁横截面四角为圆角,受简谐激励集中点力作用,方向与作用点处壳体外法线方向相反,时间因子取为e-iXt(公式中均已省略),X为外激励圆频率,流体无粘性并忽略内部空气对壳体的影响,声压计算点位于距坐标原点L处且满足k0r>>1,k0为声压波数,r为声压计算点到x轴的垂直距离,箱形梁横截面的边界形状写成极坐标形式为

    式中,<为极角;R1为圆角圆弧半径;a1为原点到中曲面直边的距离。

    箱形梁的运动微分方程以及内力、位移关系为[7]

    式中,f(x,B)表示外激励力;pf(x,B)表示作用在箱形梁上的外表面声压;B表示周向曲线坐标;RB为B方向箱形梁中面曲率半径;Q为壳体密度;h为壳体壁厚;K=Eh/(1-L2);D=Eh3/12(1-L2),E为杨氏弹性模量;L为泊松比。

    定义Fourier积分变换f为便于分析,在式(2)和式(3)两边对x变量进行Fourier积分变换后,并将其Fourier积分变换量转化成无量纲物理量为

    式中为与箱形梁中曲面等周长的圆的半径,将上述无量纲物理量引入消去变量?Hx、?Nx、?NxB、?Qx、?QB、?Mx、?MxB、?MBx后,可得箱形梁的一阶状态微分方程组为

    式中,{?u,?v,?w,?HB,?MB,-?SB,?NB,-?NBx}T称为箱形梁的状态向量。取频率参数K2=QhR2aX2/K,箱形梁壁厚比?h=h/Ra,则系数矩阵[Aij]=A(i,j=1,2,,,8)中的非零元素可表示为

    对于箱形梁,系数矩阵A中的元素为曲线坐标B的函数,致使式(4)为一变系数矩阵微分方程,同时作用在壳体内外表面的声压又不能事先给定,因而直接采用解析法求解式(4)具有相当难度。于是,采用齐次扩容精细积分法[5]对其进行精确求解,可将式(4)写成如下形式