具有随机参数的线性振荡器的随机共振

    1 引 言

    近年来,随机共振现象作为一种非线性现象在实验和理论上都得到广泛研究[1~8]。广义而言,随机共振是指在有噪声的系统中,由于输入信号和噪声在输出中的协作效应,输出信号是噪声或激励信号的某个参数(噪声强度、激励信号的幅度或频率等)的非单调函数这样一种非线性现象.随机共振现象不仅在非线性系统中观察到[1,2],在有噪声的线性系统中也发现了随机共振现象[3~5]。随机共振理论可以用于微弱信号的检测[6]、在强噪声下提取信息信号[7]以及比较器阵列中提高输出信噪比[8]等方面。

    2 系统模型

    考虑如图1所示的串联RLC过阻尼线性振荡器,其初始条件为零,电流i(t)满足微分方程:

    v(t)是激励信号,v(t)=Acos(8t)。设电感L受到一个噪声G(t)的扰动:

L=L0+G(t) (2)

    其中,L0是常数,G(t)是高斯白噪声,其均值和相关函数为:

    其中,D是噪声G(t)的强度.此时方程(1)为

    B和X0分别是振荡器无噪声时的阻尼系数和固有频率。

    3输出幅度增益

    3.1 A=0时的情况

    为了求解方程(4),首先考虑激励信号最大幅度A=0时的情形。此时,方程(4)为

    方程(6)描述了一个以为激励的二阶线性系统。根据线性系统理论,由这个激励产生的稳态输出是这个激励与系统的冲激响应的卷积积分,即:

   式(7)两边对时间求导,然后代入式(6),有

    利用Shapiro-Loginov公式[9]和相关删去法方法[10],对于高斯白噪声G(t),有:

    根据式(3)和式(10),对式(9)两边平均,然后进行拉普拉斯变换,可得振荡器以均值3i4(t)为输出时的系统函数

    3.2 AX0时的情况

    当AX0时,根据式(4)、式(11)和式(12),进行拉普拉斯反变换,可得到平均输出3i4(t)满足的二阶微分方程:

    设方程(13)的解为

3i4(t)=asin(8t+U) (14)

    将式(14)代入式(13),可得到振荡器平均输出幅度的增益:

    4讨论

    由式(15)可见,振荡器输出增益G是噪声强度D和激励信号的频率8的非单调函数。如图2~6所示,在这些图中可以观察到随机共振现象。

    在图2~4中,分别绘出了阻尼系数B、固有频率X0和激励信号频率8取不同值时,输出增益G与噪声强度D的关系曲线。从图中可见,在有噪声的振荡器中:

    (1)幅度增益随着噪声强度的增大出现了一个最大值,即传统的随机共振。随着噪声强度的增大,幅度增益从一个非零的值开始单调地增大,在某一个噪声强度处,幅度增益达到最大值,即出现共振峰,然后随着噪声强度的增大而单调地减小。