基于多域边界元法的声学形状灵敏度分析

    引　言

    灵敏度分析反映了由于设计变量的改变而引起的系统响应的变化趋势,在优化设计中被广泛采用。声学灵敏度分析揭示了结构振动引起的辐射声压、声能量等声学量与各种设计变量之间的关系[1～10],为产品的低噪声设计提供优化方向和量化依据。

    多域边界元法(MBEM)是将振动体划分为多个假想分界面连接的子区域,对每个区域分别应用边界元法和连续性条件,最终组合成一个块状、稀疏、不对称的系数矩阵。Jeong J H等对多域边界元法做了完整的介绍[11]。

    在基于边界元法的声学灵敏度分析中,获得灵敏度系数矩阵的主要计算方法是有限差分法[1],通过有限差分计算系数矩阵的导数,从而得到灵敏度信息。虽然有限差分法具有简单易执行的优点,但具有两个主要的缺点:步长导致的精度问题以及计算效率低下。尤其是在利用边界元法计算灵敏度时,大量的计算时间花费在网格的再生,系数矩阵的生成中,无疑限制了计算效率低下的边界元法在声学灵敏度分析中的作用。伴随变量法是目前普遍采用的提高灵敏度计算效率的方法[12],但其主要适用于目标函数较少,设计变量较多的情况。Jeong将多域边界元法引入声学灵敏度分析中[8],按设计变量是否改变将振动体划分为若干区域,分开考虑,使计算效率得到显著提高。

    本文提出了一种采用外推法的基于多域边界元方法的声学形状灵敏度分析方法,其主要思想是:当结构尺寸发生微小扰动时,将微小扰动量取定为原来的边界元网格宽度,采用外推方法获得新的网格节点处的边界条件,利用多域边界元计算辐射声压,再利用有限差分方法获得灵敏度值。这种方法避免了网格的重新生成,使得绝大多数系数矩阵不用重新计算,只需在原来系数矩阵中加有限行和有限列即可,从而显著提高灵敏度计算效率。

    1　基于边界元法声学灵敏度分析

    当已知结构表面法向振速时,边界元法是计算其声辐射的一个有效方法。利用离散的Helmholtz边界积分方程,可以获得基于边界元法的表面声压计算公式为

Hp=Gv(1)

    式中　p,v分别代表N个节点处的表面声压、表面法向振速,均为N×1阶列向量;H和G为N×N阶方阵。得到表面各节点处声压后,即可求得空间任意场点处的声压值

pe=Hep+Gev(2)

    式中　He,Ge为系数行向量;p为式(1)求得的表面节点声压;v为已知各节点法向振速列向量。

    基于边界元法的声学灵敏度分析分为两步,首先需要获得表面声压关于设计变量的灵敏度值,再获得场点处声压关于设计变量的灵敏度值。

    将式(1)对设计变量求导,得到