一种用于圆度误差评价的递推估计算法

　　一、引言

　　在圆度误差的评价中,最常用的计算方法为最小二乘法。由于残差为圆心坐标及圆半径的非线性函数,因此不易直接求解,必须运用某种优化迭代算法。为了简化计算,文献[1]给出了一种当测点均匀分布时的简便算法,该算法要求测量数据满足/小偏差假设0和/小误差假设0条件,从而限制了其应用。文献[2]给出了一种直接利用最小二乘法求解的简化通用算法,但该算法改变了残差的含义,从而使其应用范围受到了一定的限制。此外,变一法、变二法、拓补传统法也被应用于圆度误差的评价[3],但这些方法均有一定的适用范围。

　　在实际测量中,往往由于加工因素和测量因素,使得测量数据千差万别,因此,需要研究合适的圆度误差评价方法。本文给出了一种用于圆度误差评价的递推估计算法,计算结果表明,该算法应用方便,适合于各种圆度误差数据,能很好地运用于圆度误差的评价。

　　二、问题的表述

　　为了评价圆度误差,可以转轴为中心,在被测平面圆的圆周方向每隔一定角度αi,测量被测点的极径Ri。一般认为αi是可以精确测量的量,而Ri是存在测量误差的随机变量,此时圆心坐标(u1,u2)及半径R满足如下观测方程:

　　式中,Ei(i=1,2,,N)为残余误差,且互相独立。

　　定义如下准则函数:

　　式中

　　显然,使而得到的θ=[u1,u2,R]^T就是所要求的最小二乘圆心坐标和半径,此时有:

　　式(4)是一组复杂的非线性方程组,无法直接求解,因此必须运用某种形式的迭代计算算法。

　　三、圆度误差评价的递推估计算法

　　不失一般性,令θ^k表示极小化Jk而得到的圆心和半径的估计值,由式(2)可知,有

　　将式(6)代入式(5),并对θ求导得:

　　将式(8)代入式(7),并注意到θ^k的最优性使,得

　　上式即为参数估计的递推形式,为了便于计算,令

　　注意到由式(7)可得

　　由式(11)及式(12),并应用矩阵求逆引理[4],不难得到

　　由此,可归纳出参数估计的递推算法如下:

　　四、计算结果

　　由以上分析,可以将运用递推算法估计圆心坐标及半径的步骤总结如下:

　　1.取H^0为合适的初值,P0=10²~10⁴I(I为单位矩阵),k=0;

　　2.k=k+1;

　　3.由式(14)递推计算εk,Pk,θ^k;

　　4.转步骤(2),直到计算出θ^N;

　　5.令k=0,将θ^N作为初值θ^0,重复步骤(2)~(4),直至θ^N收敛。