累积法圆和球拟合及在形状误差评定中的应用

　　0 引言

　　形位公差是零件的主要几何特征之一[1],而形位误差的检测与评定则是机械加工中十分重要的环节;圆度和球度是常见的两种形状公差,尤其是圆度.评定的主要任务是提取理想圆和理想球,以往常用的方法有最小二乘法[2]、最小区域法、最小外接圆(球)法和最大内接圆(球)法.其中,最小区域法符合国标“最小条件”的定义,但求解困难;最小二乘法虽然不符合国标“最小条件”的定义,但比较成熟,是最常用的一种方法,可计算过程中需要计算交叉项.作者尝试应用普通累积法拟合理想圆和球进行圆度误差和球度误差的评定,因为这是一种新颖的数据拟合方法,不需要处理交叉项,而且具有较高的计算精度[3-4].

　　1 基于普通累积法的圆和球拟合

　　累积法是利用试验数据的累积和权数直接估计模型参数[3],对于一组数据{xtBt =1,2,,,n},各阶累积和定义如下[3-5]:

   (1)

　　1.1 圆拟合

　　假设测量点的坐标为(xi,yi)(i =1,2,3,,,n),理想圆圆心坐标为(a,b),半径为R,则有

   (2)

　　由(2)式等号右端应加上一误差项,在此省略,将(2)式展开得

   (3)

　　令

   (4) 

　　由(3)式变为

  (5)

　　将(5)式两边施加累积算子.由于(5)式中有3个未知量,因此需要累积到3阶,得

    (6)

　　令

　　则(6)式变为

     (7)

　　如果X满秩,则

    (8)

　　结合(4)式,可求得a,b,R.

　　1.2 球拟合

　　假设测量点的坐标为(xi,yi,zi)(i =1,2,3,,,n),理想球球心坐标为(a,b,c),半径为R,类似圆拟合原理,有4个未知量,累积到4阶可得

　　式中,u =2a;v =2b;w =2c;q = R2- a2- b2- c2;Ci= x2i+y2i+ z2i.

　　结合式(8),可求得a,b,c,R.

　　2 圆度误差和球度误差

　　圆度误差计算公式:

   (10)

　　球度误差计算公式:

　　3 仿真实验分析

　　用(12)式生成12个点,取x0=1 ,y0=1 ,R0=2 ,Ui=P(i-1)/6 ,则某次生成的数据如表1所示.

　　可以计算得

　　在本例中,假设回转中心在(1, 1),解得

　　在本例中,假设回转中心在(1, 1),解得:a=1.02286 ,b=1.00797 ,R=1.99966 ,t=0.01824 .

　　4 结论

　　(1)普通累积法是拟合理想圆和球的一种新颖方法,具有较高的拟合与评定精度,可以扩充到其他形位误差的评定中.

　　(2)系数矩阵X的病态问题值得注意.在某些情况下,X条件数较大,病态严重,使(8)式求解困难[7].通过使用高精度的数据处理软件或采用诸如优化等特殊的处理方法[7-10],可以得到比较理想的结果.