动力吸振器优化设计中等效质量的简化求解法

　　0 引言

　　在多自由度振动主系统上附加动力吸振器子系统是抑制机械结构振动的有效方法.该方法具有结构简单、安装方便、成本低等优点,在管道振动控制中得到了有效应用[1].但是,对于确定的主系统而言,如何确定动力吸振器安装的位置和方向,如何选择和设计子系统的结构参数是动力吸振技术研究领域的重要问题.

　　近年来,利用振动模态理论建立的多自由度主振系动力吸振器优化设计方法在工程中已有应用[2,3],该方法首先计算出主振系各阶模态,确定振幅最大处为吸振器的安装位置;然后利用附加质量响应法求出各振幅最大处的等效质量;最后根据最优调谐条件选择合适的模态质量比可以确定各吸振器的质量,进而确定吸振器的刚度[4].其中用附加质量响应法计算等效质量时计算繁琐,用特征向量法简化了等效质量的求解,减小了计算量,且精度和附加质量法结果相近,使利用振动模态理论的动力吸振器参数优化设计方法能更方便地应用于工程实际.

　　1 特征向量法计算等效质量原理

　　如图1所示,在第i阶模态下每一质量的速度可写成其中ρ为一常数.那么,系统的总动能可表示为:

　　另一方面,在第i阶模态下若在j点用一个等效质量的动能等效整个系统在该阶模态下的总动能,即令,显然第i阶模态下第j质量点处的等效质量Mji可用下式表示:

　　用矩阵表示为:

　　即Mji={Xji}^T[M]{Xji} ,其中{Xji}为归一化后的向量; m1,m2,,,mN为质量阵的对角线元素.

　　由于mj是吸振器安装位置处的质量,因此式(2)给出的等效质量Mji除了包含本身的质量mj外,还包含了第i个模态的其它点的质量因子.在振动模态分析法中,模态矩阵的各个特征向量没有被赋予任何物理意义.相应地,各个模态下的主质量(即模态质量)如不修正也不能表示任何物理意义.如果将吸振器安装在某阶模态振幅最大处,则在这一阶模态下该处的等效质量最小,并且大小就为这一模态的主质量值(即模态质量值).也就是说,模态振幅最大处的等效质量就是该阶模态的主质量.从以下的例子也可以看出这一点.

　　2 在离散系统中的应用

　　算例引用文献[2].如图2所示,不计阻尼,质量块质量分别为:

　　m1=1kg,m2=0.5kg,m3=0.25kg

　　弹簧的刚度为: k1=k2=k3=1500N/m将各特征向量按其最大为1的原则归一化,得到模态矩阵为:

　　从式(3)可以看出:第一阶模态的最大振幅在m1处,吸振器应安装在m1上;第二阶模态的最大振幅在m2处,吸振器应安装在m2上;第三阶模态的最大振幅在m3处,吸振器应安装在m3上.可以很容易计算出各阶模态下各质量点的等效质量,结果如表1所示.解出在第一、二、三阶模态下,分别在第m1、m2、m3点(均为最有效点)的等效质量分别为1.310 kg、0.878 kg、0.374 kg.