轴类零件形状误差优化评定的研究

　　0 前言

　　目前,精确评定圆度及圆柱度误差通常采用三坐标测量仪、圆度仪、圆柱度仪的径向测量方法[1]。评定大多数采用最小二乘法(LSM)[2],该评定方法虽然简单快捷,但由于不能满足形位误差评定的最小条件原则,因此,该方法是近似评定,易对合格工件造成误判。在ISO及国家标准中,包容评定法则能严格地按照最小条件进行评定,它包括最小区域法(MZC)、最小外接法(MCC)、最大内切法(MIC)3种方法。3种方法的实质在于按不同的准则求出相应的理想要素,若能确定拟合圆心、拟合轴线位置,即可精确求出圆度、圆柱度误差。确定评定基准理想要素需建立误差评定规划模型,通过选择合适的优化算法实现模型的求解[3,4]。

　　本研究在分析圆度、圆柱度误差几何模型的基础上,建立其包容评定规划模型,并利用线性规化的单纯形优化算法进行求解。

　　1 包容评定数学模型

　　包容拟合是指用理想包容要素(理想要素的等距图形)包容实际要素,并使包容域的特征参量为最小,与函数中的一致逼近理论相联系。如果拟合中仅有一个理想包容要素,称之为单包容拟合;如果有两个理想包容要素,用它们形成的带状域去包容实际要素,则称为双包容拟合。最小外接拟合和最大内切拟合为单包容拟合,最小区域拟合为双包容拟合。根据包容评定的定义,可得到评定结果:外包容:

　　式中g(U,X))实际要素与理想要素之间的误差Δ;U)理想要素上点坐标的参数向量;X)理想要素的位置参数向量。

　　当理想要素为平面曲线时,U=p,X=(x,y)^T;当理想要素为曲面时U=(p,q)^T,X=(A,B,C,x,y,z)^T,其中α、β、γ为角位移变量,x、y、z为线位移变量。函数hj(X)为条件包容拟合位置约束函数,一般是位置参数的线性函数。

　　圆度误差评定几何模型,如图1所示。在极坐标系中,圆上各测点半径ri与方位角θi关系为ri=f(θi)。评定基准圆心为O',其位置由x和y两参数决定,各测点到评定基准圆心的距离Ri表示为:Ri=ri-xcosθi-ysinθi,根据该几何特征,并利用包容拟合定义,可得到圆度误差评定规划模型。

　　最小外接圆法评定:

　　最大内切圆法评定:

　　最小区域法评定:

　　式中w—目标函数;u和v—特征参量,分别表示最大半径和最小半径,被测点以(θi,ri)来表示;其中θi—转角参数;ri—采样点处测得的半径值。

　　同理,可以建立圆柱度误差评定规划模型,其几何模型,如图2所示。圆柱上各测点半径ri与方位角Hi及高度zi之间的关系为ri=f(θi,zi)。评定圆柱度误差时,评定基准轴线O'T的方向由α和β两参数决定,位置由x和y两参数决定。由于圆柱度几何模型复杂,实际圆柱面各测点到评定基准轴线上的距离为非线性关系,为求解方便,可基于测量评定误差的两点假设[5](小偏差假设和小误差假设)将其线性化,Ri可表示为: