直线度误差的评定方法及其数学证明

　　1 直线度误差的评定方法

　　直线度误差是指被测实际直线的最小包容区域的大小。如果包容区域由两个理想要素(如两条平行直线,两个平行平面)构成,直线度误差即为最小包容区域的法向距离;如果包容区域由单一理想要素(如圆柱面)构成,直线度误差则为最小包容区域的直径。

　　对于平面内被测实际直线而言,其最小包容区域是指包容被测实际直线的距离为最近的两条平行直线间的区域,此区间的法向宽度f1即为该被测实际直线的直线度误差,如图1所示。

　　对于平面内被测实际直线的直线度误差的评定,则采用被测实际直线的“误差曲线”的最小包容区域沿测量读数方向的宽度f2(平行于y轴)作为直线度误差,如图2所示。

　　由于上述评定方法与直线度误差定义很相似,实际工作中,常有误将/误差曲线0的最小包容区域的法向宽度f3当作直线度误差的情况。这种错误产生的原因主要有:

　　a)将被测直线的误差曲线误作为被测直线本身;

　　b)对于这种评定方法的数学根据不清楚,导致了记忆混淆。

　　目前,我们尚未见到有关平面内被测直线的直线度误差评定方法的数学证明资料,故有必要将我们所研究过的一种数学证明方法介绍给大家。

　　2 平面内被测直线的直线度误差最小区域评定法的数学证明及结论

　　2.1 数学证明

　　2.1.1 通常作图情况下,有关直线度误差f的分析计算

　　当测实际直线各测点的横坐标固定时,设平面内被测实际直线的误差曲线如图3所示,A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC)三点满足“低-高-低”最小包容区域判定条件,故直线AC及与其平行的直线BD构成最小包容区域。M(xM,yM)为最小包容区域内误差曲线上的任一点,过点M与y轴平行的直线与直线BD及AC分别交于点M(xM,yM)及,M(xM,yM),过点B与y轴平行的直线与直线AC交于点B(xB,yB),则直线BD的方程为:

　　又直线AC的方程为:

　　综合式(1)和式(2)得

　　直线度误差

　　2.1.2 作图时,若相邻测点间距离按相同比例变化,有关直线度误差的分析计算

　　图4中,各测点的横坐标均取作通常作图法中相应横坐标的k倍(k >0),与图3中A,B,B,C,M, M, M对应的点分别为A',B', B',C',M',M',M'。

　　下面证明A‘,B’,C‘即为新的最小包容区域所经过的极值点。

　　经过A'(kxA,yA),(kx',y')两点的直线方程为

　　比较式(2)和式(5)两式,可见

　　比较式(4)和式(8)两式,可见: