基于小波分析提取风机噪声特征

　　0　引　言

　　小波分析(Wavelet Analysis)或多分辨分析(Multiresolution Analysis)源于信号分析,它是近几年国际上掀起热潮的一个国际前沿领域,在英、法、美等国成为多学科共同关注的热点,被看成是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶.

　　原则上讲,传统上使用傅里叶分析的地方,现在都可以用小波分析取代.其中窗口傅氏变换与小波变换都属于时-频分析,然而它们在性质上还是有颇大差异的,其中最主要的是:窗口傅氏变换对不同的频率成分(相应于mp0)在时域上的取样步长均是q0,而小波变换对不同的频率成分(相应于a-m0)在时域上的取样步长(即a^m0b)是调节性的,高频者(对应于小的m值)小,低频者(对应于大的值)大.可见,小波分析优于傅里叶变换的地方是,它在时域和频域同时具有良好的局部化性质,而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长,从而可以聚焦到对象的任意细节,从这个意义上讲,它被人们誉为数字显微镜.

　　1　多尺度分解及其快速算法

　　设L2(R)表示平方可积的一维函数的适量空间.若用A2^j表示尺度2^j上的一个逼近算子,V2^j表示L2(R)中的函数在尺度2j上所有可能的逼近的集合,即:A2^j为矢量空间V2^j上的一个正交投影,则对函数f(x)∈L2(R)在尺度2j的近似为

　　它完全由尺度2^j上的离散近似信号

所刻划.这里,52j(u-2jn)由尺度函数5(x)经平移、伸缩得到.

　　在小波分解中,信号f(x)在尺度2^j+1与2^j上的近似函数的信息称为尺度2j上的细节信号.若V2^j+1中V2^j的正交补用O2J表示,则细节信号即为f(x)在O2J上的投影.若用P2^j表示这种投影算子,则

　　完全由离散细节信号

　　所刻划.其中经平移、伸展得到.

　　这样,经J级(J>0)小波分解,初始矢量空间V0可表示为

　　表示求直和.原始信号可完全由

表示.

　　若用h(n)和g(n)表示Φ(x)决定的低通和高通滤波器,其矩阵表示为则由Mallat快速算法可得由离散近似信号和离散细节信号表示的离散正交小波变换

　　图1表示了离散正交小波变换的过程.

　　Mallat算法[1]只需根据半波带滤波器H、G即可实现信号的多尺度分解,而H、G可根据工程应用的特殊要求所选取的尺度函数和小波函数离线得到,使分解过程大为减化,其数学运算的复杂度为O(N),优于传统FFT的O(Nlog2N),因此,便于实时分析.

　　本文的目的是提取信号特征,故选取Daubechies构造的有限脉冲响应滤波器,n=2,3,…,作为低通滤波器,它对应的Φ(x)和ψ(x)是紧支的.考虑系统工作的实时性,不妨取n=2,它对应的是四抽头滤波器.在Daubechies紧支小波条件下,有