非确定区间桁架结构静力分析的区间因子法

　　1　引言

　　工程问题抽象地转化为所需的理论模型,时常会遇到一些不确定性问题。很多的不确定性因素存在于实际的工程领域中,如:制造和装配误差等等,使得 所有问题不同程度上存在不确定性。根据当前的工程背景可以分为材料结构参数的不确定性、载荷的不确定性、几何尺寸的不确定性、初始条件和边界条件的不确定 性以及计算模型的不确定性等。概率方法、模糊方法和区间方法是目前不确定性建模的三种主要方法[1]。概率方法和模糊方法需要知道不确定性参数的概率密度 函数和隶属度函数,实际中这些函数难以确定。而区间方法只需要知道参数值上下限范围即可。

　　利用区间分析方法进行结构分析研究日益受到关注,比如区间结构静力分析问题[2]、特征值问题、动力响应分析、动力优化以及可靠性问题等各方 面。目前所见到的求解区间方程组的方法大致有区间参数摄动法、端点组合-单调性法、区间参数优化法、大范围变化参数的分区法等。本文基于区间参数的不确定 性,提出了区间因子的求解方法,最终将结构的区间参数变量表达为特定值与区间因子的乘积,再以区间矩阵带入方程求得区间响应主值,再通过总区间因子将其不 确定性转换成响应的物理值。

　　2　区间因子法

　　假设区间变化量XI=[x,x],则有:

　　式中:XC-区间变量XI的均值(或中间值),ΔX-区间变量XI中的不确定量或被称作区间最大宽度值。上式还可进一步表示为:

　　式中XIF=xF,xF也为区间变量。由于区间变量XI的不确定性由XFI来体现,因此本文称XFI为区间变量XI的区间因子。由上式可得:

　　式中:XFC-区间因子XIF的均值且其值为1,ΔXF-区间因子XFI的区间最大宽度。由于ΔXF的值等于区间变量XI的区间最大宽度值ΔX 除于该区间变量的均值XFC所得的结果,因此本文中称ΔXF为区间变量XI的区间变化率,它可以用来衡量XI的区间范围相对于其均值的变化程度。显然,对 于任意已知上下限的区间变量而言,均可求出其相应的区间因子。

　　3　区间桁架结构参数的位移分析

　　结构的静力有限元控制方程为:

　　式中: {K}—结构的刚度矩阵, {U}—结构的位移响应列向量, {f}—外荷载向量。

　　假设结构有n个单元,结构在总体坐标下的刚度矩阵[K],质量矩阵[M]可以表示为:

　　以上公式[M(e)]和[K(e)]分别表示为第e个单元的刚度和质量矩阵;E(e)、ρ(e)、A(e)、和L(e)分别为第e个单元的弹性模量、质量密度、杆横截面积和长度; [I]为单位矩阵;矩阵T(e)为总体坐标下e单元的刚度矩阵中不含结构参数的部分。