双轮共轴移动式倒立摆动力学建模与状态反馈控制

　　引言

　　双轮共轴移动式倒立摆系统两个轮位于同一轴线,由电机驱动,是一个非完整约束系统.控制目标是移动式倒立摆在二维平面内按指定的方向和速度运 动,同时保持摆杆平衡.倒立摆系统是检验各种控制方法的理想模型,近来两轮移动式倒立摆模型引起了广泛关注,以此模型为基础一种商业产品Segway已经 面世,其关键是解决在空载、载人、前进、后退、旋转以及刹车等各种运动状态下,如何保持车体系统平衡的问题.

　　文献[3]在状态反馈等自动控制理论的基础上研究新的控制算法.CPU根据传感器采集的数据实时计算控制系统平衡所需的脉宽调制信号,控制两个 直流电机的转矩,使车体在各种运行状态下保持平衡.文献[4]利用状态反馈和输出反馈,构造闭环系统的状态空间方程.但是他们均是把该系统看作是完整约束 系统,选取3个广义坐标描述系统状态.本文考虑车轮受非完整约束,选取4个广义坐标描述系统状态.该系统是具有3个自由度, 2个控制量的非完整欠驱动系统.在优化极点配置的基础上,利用状态反馈算法对系统进行控制.并用MATLAB进行仿真,根据仿真结果进行分析,得到合理的 反馈极点,使系统的动态和稳态性能指标符合实际的要求.

　　1　两轮移动式倒立摆的数学模型

　　1.1　系统结构

　　如图1所示,共轴的两轮分别由两个独立电机驱动,倒立的摆杆固联在轮轴上,可随轮轴自由迴转.控制系统由 DSP(DigitalSignalProcessor), PWM(PulseWideModulation)调速电机,陀螺仪,码盘及加速度传感器组成,陀螺仪通过检测摆杆倾角、角速度及加速度,传感器通过检测 倒立摆运动的加速度,为控制系统提供状态信号.如图1所示, xyz为惯性直角坐标系,O为轮轴中点,OXYZ为随O点运动的平动坐标系,O点在惯性系中的位置为(x,y,R).X′Y′Z′为摆杆的随体坐标系,两 轮的轴线方向为Y′轴,车体前进方向恒垂直于轮轴,摆杆方向为Z′轴.两轮轮距为2D,R为两轮半径,G为摆杆质心, l为OG间距,mp为摆杆质量,m为轮的质量,φl,φr分别为左右轮转角,轮轴在水平面的转角θ为偏航角,摆杆与铅垂线夹角α为俯仰角.

　　1.2　动力学方程

　　摆杆、轮轴相对于平动坐标系OXY′Z作定点运动,其角速度为

　　其惯量矩阵

　　摆杆的转动相对质心运动(定点运动)的动能

　　左右车轮的速度如图2所示分别为:

　　V-l=R.φl(sinθ-i+ cosθ-j), V-r=R.φr(sinθ-i+cosθ-j),O点的速度V-0=12(V-l+V-r),-rOG=l-k′,其中-i,-j,-k′分别为X,Y,Z′单位向量.摆杆质心的速度: