弹性地基上输流管道的静态和动态稳定性研究

　　输流管道在石油化工、水动力工程及农业灌溉等行业有着广泛应用。很多文献已用理论和实验的方法研究了悬臂管和两端支承管道的流-固耦合失稳特性 [1―3]，发现了包括混沌运动在内的多种复杂的运动现象[4―5]。然而当管道被用于输送石油或灌溉水时，其常常被铺设于地下土壤中，相当于在管道外部 增加了弹性地基支承。由于地基的分布支承作用，管道系统的稳定性和动态响应较悬臂和只有两端支承时会发生很大变化[6―8]。在弹性地基的近似模型 中，Winkler 模型[9―11]的结构最简单，但精确性不高。Doaré 等[12]曾给出了 Winkler 地基上两端固定和两端铰支管道静态失稳临界流速的解析表达式;王忠民等[13]用 Runge-Kutta 数值方法及Floquet 理论研究了 Winkler 地基上输送脉动流管道的动力稳定性。

　　近年来，随着分析精度要求的提高以及研究的逐渐深入，复杂但更接近实际弹性介质的地基模型逐渐得到了人们的重视。其中，Pasternak双参 数模型[9]就是比较典型的一种。本文利用复模态方法研究这种地基上两端固定输流管道的固有频率和静态失稳临界流速，并应用平均法分析脉动内流作用下的参 数共振问题，着重讨论地基和一些管道参数对系统静态和动态稳定性的影响。

　　1 运动微分方程

　　Winkler 地基和 Pasternak 双参数地基上两端固定管道模型分别如图 1(a)和图 1(b)所示。图 1 中 U为管内流体流速，K 和 G 分别为等效线性弹簧刚度和剪切刚度。Winkler 地基模型由捷克工程师Winkler 于 1867 年提出，该模型将地基离散为无数相互独立的线性弹簧系统，地基上任一点受力只有该点处的弹簧产生形变，而其他弹簧不受影响，这就忽略了弹性介质的连续性。 而在 Pasternak 模型中，线性弹簧与管道之间增加了一层只承受横向剪力的剪切层，该层将所有弹簧上端连接起来，使整个地基变形呈现连续性，从而提高了模型的精度。 Pasternak 地基的受力 F -变形 y 关系可表示为[9]：

　　考虑关系式(1)，根据管道和流体单元的受力可得到管道横向振动微分方程：

　　式中：c、ν、EI、m、N、L 分别为管材 Kelvin-Voigt型粘弹性系数、泊松比、管道抗弯刚度、单位长度质量、轴向预紧力、长度;M、U、A、P 分别为管内流体单位长度质量、流速、通流截面积及管道出口处的内压。当 G=0 时，式(2)就是 Winkler 地基上管道振动微分方程。

　　引入如下无量纲变量和参数：

　　则式(2)可转化为无量纲形式：

　　式中，( )′和( )分别表示 ( ) / ξ 和 ( ) / τ 。下面分别研究系统在定常内流状态下的静态稳定性和脉动内流状态下的动态稳定性。