含脱层层合简支梁屈曲问题的弹性力学解

　　在复合材料层合结构的制造和使用过程中，常常会出现层间脱层。研究表明，脱层损伤是层合结构破坏的主要原因之一。由于脱层的存在，降低了复合材 料的承载力和稳定性，脱层处的局部屈曲会明显降低结构的轴向承载能力。因此，研究脱层对层合结构轴向承载能力的影响有实际意义。含脱层复合材料屈曲问题的 核心是临界压力荷载的确定，Chai 等人[1]

　　最早用经典理论对脱层梁的屈曲和后屈曲进行了初步分析;Simitses 等[2―3]使用一维模型来模拟具有贯穿裂纹的层合结构在承受轴向压力荷载时的弹性屈曲;为了适合于工程应用，Wang 和 Lin[4]分别考虑自由和约束两种脱层模型，给出了具单个及多个脱层层合梁的屈曲分析;Huang 和 Kardomateas[5]则对具有两个轴对称脱层的梁-板结构进行了屈曲分析。

　　以上分析都是基于经典梁理论，没有考虑横向剪切效应的影响，对于长细比较小或含短脱层的梁，其分析结果与精确弹性解必有较大偏差。为 此，Kardomateas 和 Schmueser[6]以经典梁理论分析为基础进行剪切修正，得到了对称脱层梁临界载荷的解析解;Kyoung 和 Kim[7]利用变分原理和欧拉方程，考虑横向剪切效应，导出了任意位置脱层的层合梁屈曲方程;李道奎[8]则采用厚度的三次多项式模拟脱层梁屈曲时子层 的轴向位移，并用状态空间法求解了脱层梁的临界屈曲载荷。

　　到目前为止，脱层梁屈曲问题的研究大多限于采用材料力学理论以及各阶剪切理论，而基于二维弹性理论对脱层梁屈曲问题的研究还很少。Xu 等[9]利用状态空间法及 Fourier 级数展开，研究了两端简支层合梁的弹性力学解;同样利用状态空间法，Xu[10]采用界面不分离的脱层滑移模型，得到了两端简支条件下的解析解以及其他支 承情况下的半解析解。需要指出的是，在大多数情况下，脱层的界面会出现分离，但尚未发现有人采用弹性力学理论来求解脱层分离时复合材料层合梁的屈曲临界载 荷。

　　1 基本方程

　　考虑如图 1 所示的 I 层复合材料简支梁，梁长为 L，第 i(i=1,2,…,I)层梁的厚度为 Hi ，假设第 i 和i+1 层梁的层间含有 Ji个脱层。轴向载荷 P 作用于梁两端的中轴线处，根据圣维南原理，将轴向载荷P 转化为等值分布的初始正应力，则第 i 层梁的初始正应力为：01i ixIk kkE PE Hσ==∑。根据弹性力学理论，第 i 层梁用位移表示的平衡微分方程为：

　　式中：iu 和iv 是第 i 层梁在 x 方向和 y 方向的位移;iE 和iμ 是第 i 层梁的弹性模量和泊松比。

　　对于简支梁，式(1)的解为：

　　则解为：