弹性耦合对大挠度柔性梁变形影响的分析

　　梁在许多的机械中都是重要的结构单元。有些梁在运动中会产生很大的变形,如直升机无轴承旋翼的柔性梁等。结构大变形的问题已成为力学、机械及航 空等领域研究的热点和难点。具有大范围空间运动的柔性梁,由于存在弹性耦合等现象,运动十分复杂,因此大位移、大转动、大曲率梁的大变形问题困扰了几乎整 个20世纪[1]。这种梁结构在一定载荷下,尽管应变很小,没有超过弹性极限,但是位移较大,材料线元素会有较大的位移和转动。对

　　这种结构的研究经历了不计大范围运动和弹性耦合作用的运动弹性力学方法(KED)[2]和混合坐标法[3]。这种模型没有考虑柔性梁纵横向变形 之间的相互耦合作用,在实际运用中可能会导致错误的结论[4]。Rose等采用主曲率变换方法对考虑弹性耦合大挠度柔性梁的变形进行了计算[5,6],但 是结果与实验数据比较存在一定的差异,特别是扭转角的偏差较大。

　　下面考虑到梁纵向、横向和侧向三个方向的位移耦合项,利用Green-Lagrange应变张量建立了大变形、大转动、小应变条件下梁的应变与 位移的非线性关系,并应用Hamilton原理建立大挠度柔性梁的运动有限元方程,研究了静力情况下弹性耦合对大挠度梁变形的影响。

　　1　应变与位移的关系

　　柔性梁变形前后几何形状及坐标系的描述如图1所示,其中坐标系i1、i2、i3为惯性坐标系,局部坐标系固定在梁轴线的参考线上, e1与参考线相切, e2、e3在横截面内,x1、x2、x3是曲线坐标。变形前梁横截面内任意一点的位置矢量为：

　　变形后对应点的位置矢量为:

　　变形前后横截面内参考线上点的位置矢量分别为r0、R0。

　　参考线上位移矢量为:

　　则变形前、后任意位置的基向量分别为:

　　式中: (　), i表示对xi(i=1,2,3)求导。

　　ei通过惯性坐标系i1、i2、i3旋转得到。令x1=x,有:

　　式中:t(x)为旋转矩阵。

　　横截面内任意点的位置矢量为:

　　公制张量gij、Gij分别为:

　　假设变形过程中梁的横截面在其本身的平面内无变形,即梁变形后参考线的基向量E2、E3仍在横截面内,且与e*2、e*3方向一致,所以E2和E3互相垂直,但是梁变形后参考线基向量E1不再与E2、E3垂直。

　　坐标系e*i定义如下:

　　则E1为:

　　式中:e11、e12、e13分别是E1在三个e*i上的分量。

　　e*i由惯性坐标系ii旋转得到:

　　式中:T(x)为旋转矩阵。

　　变形后结构的位置矢量为: