粘弹性迭层板非线性动力弯曲问题的描述及建模

    粘弹性结构由于本构关系的复杂性,使得其非线性动力问题的理论分析和数值计算有较大的困难,其主要原因是由于非线性问题的动力方程为积分-非线性偏微 分方程组。对于粘弹性薄板几何非线性动力问题,程昌钧[1,2]等综合利用经典方法,研究了粘弹性矩形板在横向周期载荷作用下所具有的动力学行为。在此基 础上,本文对粘弹性迭层板的几何非线性动力弯曲问题进行了分析,得到了粘弹性迭层板的非线性动力方程,就简支矩形对称迭层板受横向周期载荷作用的问题进行 了求解,将粘弹性薄板作为迭层板的一个特例进行了计算。

    1　基本关系的描述与非线性数学模型

    如图1所示,考虑一块在坐标系oxyz下的等厚度薄板,参考平面z=0可选择在未变形时板上的任意位置,z轴向下;整个板作薄板处理,Kirchhoff 假设成立,设板一共有n层,每一层都是不同的各向同性的线粘弹体,层与层之间是完全粘接的,第k层的应力-应变关系式为:

应变为:

    考虑薄板的工程应用,体力、转动和面内惯性效应忽略,且两个界面上无剪应力,而上界面受向下的横向分布力q(x,y,t)作用,因此,Karman方程组取为:

    2　粘弹性四边简支矩形迭层板的初边值问题

    图2为一四边简支矩形板。设矩形板的边长为a和b,因此,Ω={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤b},在这种情况下,有边界条件:

    w =0, Mx=0, Nx=0, Nxy=0　　(x =0,a时)

    w =0, My=0, Ny=0, Nyx=0　　(y =0,b时)

若材料和结构在t∈(-∞,0-]时处于自然状态,而在t=0+时的挠度w和速度w·均为已知,令

    w(x,y,t) =0, F(x,y,t) =0,(x,y,t)∈Q×(-∞,0^-]

    w(x,y,t) = w0(x,y), w·(x,y,t) =

    w·0(x,y), (x,y,t)∈Q×(t =0+)

又令

    C₁₁(t) = A₁₂ B₁₁- A₁₁ B₁₂,

    C₁₂(t) = B₁1 B₁₁- A₁₁ D₁₁,

    C₂₁(t) = A₁₂ A₁₂- A₁1 A₁₁

代入(8)式得:

    3　求解方法与计算特例

    方程(14)为一积分-非线性偏微分方程组,要求出解析解非常困难,本文采用近似解法,将空间、时间分离,设:

    式(16)为一关于未知函数w(t)和f(t)的积分-非线性常微分方程组。

    现考虑一种简单特例,即,设每一层都是由相同的标准线性粘弹性材料组成,这样就有: