弹性2粘弹性复合结构动力响应的增维精细积分法

　　近年来,随着高分子产业的发展,涌现出大量高强度新材料。各种高强度的聚合物、复合材料和人造纤维等被广泛用于建筑、桥梁、机械及航天航空等工 程领域。这些新材料具有粘弹性特性,使结构动力分析较以前更加复杂,这对动力响应求解方法提出更高的要求,比如,效率高、编程方便和适用范围广等。粘弹性 结构或弹性2粘弹性复合结构的动力学分析必然要涉及到粘弹性材料的本构方程。国内外学者提出了许多种粘弹性材料的本构模型,其中典型和常用的有复常数模量 模型、标准流变学模型、分数阶导数模型、分数阶指数模型和微振子模型^[1]。本文采用较为精确的标准流变学模型。

　　有关弹性2粘弹性复合结构的振动分析已经取得很大进展^[2~6]。方同,薛璞等[2]系统地研究了多自由度系统的振动响应问题。陈前等^[4]利用常规状态方程描述了复合结构系统,研究了其特征解的性质。任建亭等^[5]引 入“耗散位移”和“保守粘性结构”的概念,利用迭代算法求得复合结构的特征解,进一步研究了状态方程特征解的性质。李军强等[6]分别运用 Runge2Kutta法和精细积分方法求得复合结构系统的位移、速度响应。自钟万勰提出精细积分方法以来,该方法已经在各个领域得到广泛的应用。 Zhong等[7]针对不同的激励形式分别给出了精细积分计算格式。顾元宪和张素英等^{[8, 9]}分别针对结构的动力方程和非线性 动力方程提出增维精细积分解法,避免矩阵求逆运算,事实证明这是一条切实可行的道路。本文针对结构的状态方程,提出了复合结构动力响应的增维精细积分解 法,避免了矩阵求逆,扩大了精细积分的应用范围。最后通过实例计算,证明这一方法的有效性。

　　1　复合结构的状态方程

　　根据有限元法的一般步骤,考虑粘弹性材料的本构关系,初始广义位移响应量等于零,由虚功原理可推得n自由度弹性2粘弹性复合结构系统的动力学方程

　　式中:m、c、ke、kv分别为结构的质量、阻尼、弹性刚度及粘弹性刚度矩阵;x··、x·、x分别为结构的加速度、速度和位移列阵;f为结构 的激励列阵;Q(t)为粘弹性材料的松弛函数,当t<0时,Q(t) =0;初始条件为x(0)、x·(0)。本文采用标准流变学模型,松弛函数可写为

　　可知,I为n阶单位矩阵;M和K均为n(M +2)阶方阵;F为n(M +2)阶列阵;0为n阶零矩阵。

　　2　状态方程的增维精细积分

　　考虑结构状态方程(6),通过Runge2Kutta法、精细积分法等数值方法求解,即可得到结构的位移、速度等动力响应。对非齐次的动力方 程,传统精细积分方法除了计算相应的指数矩阵,还要对矩阵求逆,不但引起算法编程的不便,同时还可能遇到由于矩阵求逆引起的数值不稳定性,即便非齐次项为 常数也是如此。为此,借鉴张素英等的方法[9],引入新变量Yinc≡1,则Y·inc=0,式(6)增加一维变为如下齐次方程形式