时滞对振动主动控制系统控制效果的影响分析

    ０　引言

    时滞系统普遍存在于自然和工程实际中，从自然界到人类社会，从自然科学、工程技术到社会科学，时滞现象无处不在［１－１２］。在精密仪表、数控机床等自动化产品结构涉及的振动主动控制领域也不可避免地存在着时滞现象，传感器信号的采集和传输、控制器的计算、作动器的作动过程等，都会导致作用于结构的控制力产生时滞［１３－１４］。时滞的存在使受控系统成为无限维系统，增加了其动力特性的复杂性，而且时滞反馈系统具有超越特征方程和无限多特征值，给系统的稳定性分析增加了难度，因此数值方法成为了分析时滞控制系统稳定性的有力工具。精细积分方法是为解决结构动力学计算而提出的，该算法简单且计算精度很高，近年来在计算动力学问题、最优控制问题以及偏微分方程中得到应用［１５－１６］。但是对于时滞受控系统，当控制力与系统的位移和速度相关时，需要对荷载向量逐步进行赋值，故应用精细积分方法时须先对其进行修正。本文对精细积分方法进行改进，计算含时滞受控系统的动力学方程，得到了在不同时滞量下系统的响应。

    １　含时滞振动控制系统的动力学方程

    含双时滞受控系统的动力学方程如下：

ｍｘ¨（ｔ）＋ｃｘ·（ｔ）＋ｋｘ（ｔ）＝－ｍｘ¨ｇ（ｔ）＋ｇｐｘ（ｔ－τ１）＋ｇｄｘ·（ｔ－τ２） （１）

    其中，ｍ为质量，ｃ为阻尼，ｋ为刚度，ｘ¨ｇ（ｔ）为加速度，ｇｐｘ（ｔ－τ１）是与位移相关的控制力，ｇｄｘ·（ｔ－τ２）是与速度相关的控制力，τ１和τ２分别是位移反馈和速度反馈的时滞量，当ｔ ＜τ１时，ｘ（ｔ－τ１）＝０，当ｔ＜τ２时，ｘ·（ｔ－τ２）＝０。为求解该方程的响应，对精细积分方法进行改进。

    ２　时滞受控系统动力响应的精 细积 分方法

　　首先进行变量代换，引入一对对偶变量，令

    则式（１）可以表示为

    则式（５）为非齐次微分方程，先求解其齐次解，齐次方程形式如下：

ｖ·（ｔ）＝ Ｈｖ（ｔ） （６）

    设时间步长为τ，则

ｖ（τ）＝ｅｘｐ（Ｈ·τ）ｖ（０）＝Ｔ·ｖ（０） （７）

    令ｖ０＝ｖ（０），ｖ１＝ｖ（τ），ｖ２＝ｖ（２τ），…，ｖｋ＝ｖ（ｋ，则

ｋτｖ１＝Ｔｖ０，ｖ２＝Ｔｖ１，…，ｖｋ＝Ｔｖｋ－１，… （８）