时间谱元法在动态响应优化中的应用

    引　言

    机械结构几乎都在动载荷作用下运行，机器的各种动态性能是与时间相关的函数。欲使机器的性能最优，动态优化是很有必要的。故而必须处理由于动态载荷作用机器的各种动态响应，包括目标函数与约束函数。在时间域上，较精确地求出相关响应，并且要求满足时间函数约束，而且不能漏掉任何响应，特别是响应极值；而应用很小步长计算动态响应，一定程度上可以减小时间函数约束的可能。在优化过程中，每一次迭代都要重新计算时间函数目标函数、时间函数约束，因此，要求求解动态响应必须高精度而且高效。

    有限差分法是比较流行的求解动态响应微分方程的方法。应用很小时间步长计算二阶微分方程，自适应调节时间步长，直到获得要求的精度。时间步长直接影响计算的稳定性和准确性，这极大地影响了计算效率。特别是当结构受脉冲载荷时，差分法很难获得满意的结果。文献［１］应用谱元法的ｈ型精细方案对受脉冲的动态系统分析求解，在没有增加单元数量的基础上获得了谱收敛精度。

    文献［２］中，提出将设计变量和位移响应、设计变量和位移响应与速度响应、设计变量和位移响应与速度响应加速度响应分别作为优化变量３种方案，应用有限差分法近似和时间相关的约束，运动微分方程被作为等式约束处理。对于动态响应最大值最小问题，文献［］提出了直接处理目标函数的方法，解决了迭代过程中最大响应震荡造成收敛困难的问题。文献［４］应用时间有限元法将动态响应微分方程转化为代数方程，然后进行了二阶灵敏度分析，为动态响应优化奠定基础。文献［５］中，应用了时间谱元法离散时间微分方程，ＧＬＬ点法和关键点法处理与时间相关的约束，然而ＧＬＬ点法不稳定，对单元数和插值次数比较敏感，关键点法由于每一次迭代的最大值的位置发生变化，因此收敛速度非常慢甚至是发散。

    ２０世纪７０年开始研究承受瞬态载荷的结构优化。２００６年，Ｋａｎｇ化的一个分支［６］。在其优化中，设计变量每迭代一次，时间响应需要计算一次，同时约束必须在整个时间区间内被满足。处理时间约束有几种方法。一种是只在响应的全局最大值处满足约束；另一种更加稳的法是使在更小时间步长上满足约束，保证中间点处的约束失效不可能发生。在准静态方法中，用了这种方法使多个等静态载荷满足约束而不是动态载荷［７］。在这些方法中，约束数大大增加。因为在优化迭代过程中，要计算这些约束的灵敏度，这样优化耗费也在增加。再一种更加有效的方法是只在响应的局部极值点处处理约束。这样可以减少约束的数量和灵敏度的次数［８］。