用WPA法解算分布力激励下梁结构的响应特性

    1　引言

在工程实践中,经常会遇到梁结构受到多力 激励或者是分布力激励的情况,如细长桅杆受到 风力作用等(如图1所示)。

传统方法分析这类动力学问题会比较复杂。 WPA(Wave Propagation Analysis)法,也称波传递 法,是一种精确的计算方法,具有精度高,速度快, 可以计及阻尼参数,对各种约束条件均较放松等 优点[1, 2, 5]。WPA法分析单点激励下的结构响应 见文献[6],而应用WPA法分析分布力激励下的 结构响应还未见报道,本文是对WPA应用范围的 拓展。根据传递波的特性,利用波的叠加原理对 悬臂梁在任意分布力作用下的动响应和动特性进 行分析,通过这些计算可以得出精确的结果。根 据对计算结果的分析,可以提出相应的减振方案, 使结构的振动水平达到预期的效果。

    2　波动方程

假设位移响应的时间相关量具有形式e^-iωt, 根据基本的Euler-Bernoulli梁弯曲理论,在任意一 点x=x0处受到外干扰力p=p0e^-iωt的作用时, 无限长梁的横向位移ω(x,t)由4阶微分方程给 出[3]:

    式中:k———结构的波数;

    A———梁的横截面积;

    ρ———材料的密度;

    ω———振动的角频率;

    EI———梁的弯曲截面刚度。

对式(1)进行傅立叶变换和逆变换,得到梁上一点x=x0处受到外干扰力p=p0e^-iωt作用时,

式中:a1、a2———无限长梁原点的弯曲响应函数。 从该式可以观察到一个点力在其作用点两侧 产生两种弯曲波:远场传递弯曲波(圆括号中第1 项,也称行进波)和近场非传递弯曲波(圆括号中 第2项,也称衰减波)。

由弯曲波的叠加原理,得到任意支承形式,在 梁上任意一点x = x0处受外干扰力p = p0e^-iωt 的作用下,有限长Euler-Bernoulli梁的位移响应方 程为[4]:

式中:k1= k,k2= ik,k3=-k,k4=- ik。

　　式(5)的第1项是由反射波在梁的两个末端 产生的位移,4个An是未知数;第2项是外激励 力产生的位移项;第3项是由支承处反力Rj产生 的位移,N个支反力Rj的大小也是待定未知数。 即式(5)中共有N+4个未知数。

对于一般分布力激励下的梁结构如图1所 示,根据传递波的叠加理论,多力作用下的梁结构 横向位移表达式可以写成: