模态试验中非线性检测的一种方法及应用

　　在模态试验中,工程结构的不断发展已涉及到许多非线性问题,尤其是局部振动非线性特性已不可忽视。从80年代中期,利用Hilbert变换已成为非线性检测的一种手段。Si-mon等^[1,2]首先由复变函数理论推导了信号频响函数(FRF)的Hilbert变换(HT)关系,认为只有在线性系统中FRF的实部可由虚部唯一确定,同时虚部也可由实部唯一确定。但其实测公式由于截断效应因而误差较大,变换作为采样频率的函数,计算量大,故实用性较差;VINH等^[3]的工作对截断效应建议采用统计因素法进行修正;Rodeman[4]进一步对HT的本质进行了分析,认为符合这种变换的信号关系必须是稳定的,信号应具有因果性,它在时域中的表示必须是实数形式。

　　1　测试原理和方法

　　将实时域信号的离散形式h(n)分解成偶对称he(n)和奇对称ho(n)序列之和,则h(n)可写成:

　　在文[1]～[3]中得到的公式与(3)、(4)类似,然后即直接进行了HT的离散数值计算。可以看出,(3)、(4)式由于与采样频率ωs相关是不便于实用的。为此作进一步的分析可对(3)式求r→1的极限,交换次序后即可求出Qr(θ-ω)的极限为,则(3)式可推导为:

　　式中P为θ→ω奇异点的极值。由于实测中不存在ω<0的实际信号,可进一步将(3)、(4)式分解成两段积分之和,利用对称关系消除负时域的信号,然后代入ω、θ的离散点及积分离散计算公式,设N为实测信号长度,则得到任一采样点k的变换虚部为:

　　对(4)式进行类似推导,考虑到时域初始项h(0)通常是未知的,故将其忽略而得到近似表示:

　　在(7)、(8)式中,变换公式只与实侧序列的长度相关而与抽样周期T无关,这样就可以方便应用在各种采样条件下。(8)式由于忽略了时域中的初时值因此计算精度较(4)式差,在文[1]、[2]的算例中表现出这一现象,但没能说明原因。

　　2　HT方法的快速算法推广和在实用中的修正

　　采用(7)、(8)式变换很大的一个缺点是计算量较大。变换对于每一个离散点都需要各进行N次余弦、减法和 除法运算,对整个序列则要作3N2次运算,其运算大大多于FFT所需的2Nlog2N次运算耗时,这就限制了它的实时监测作用。为此,考虑采用快速离散对 前述算法进行修正。由式中看出,算法受限制而不能进行类似FFT运算的关键在于存在乘、加混合运算,而加法是考虑到积分关于时域的对称性所得。若对(6) 式不进行负时域的对称变换而是直接数值计算,可得到:

　　需要注意的是由于在(10)、(11)式的推导中近似了卷积条件,即乘积域由(-∞,+∞)近似为较 之前面的常规算法会产生方法误差的积累。因此使用前应判断只有当采样足够长且j→N时,有HR(k)、HI(k)→0,才能保证足够的精度。由于采样长度 的限制将产生剩余模态和截断效应的影响,对此在变换比较以前必须消除。文[1]、[2]中对截断的FRF采用假设显式函数并求其在无穷域上定积分的方法且 不考虑剩余模态,显然这对于实际为连续体的大型结构是不可实用的。剩余模态是采样频率以外的其它主频特性在采样数据中的影响,在FRF中可表示为: