平面直线度误差数值分析判定

　　形位误差的判定准则—最小条件指出, 满足最小条件的区域称之为最小包容区域。所谓最小条件是指被测要素对其理想要素的最大变动量为最小[1]。对直线度而言, 其包容区域为由一对理想的平行直线组成的平面区域, 并且满足最小条件即两平行线间的垂直距离为最小。目前求解直线度误差的方法有很多, 如图解法、优化法计法、控制线旋转法、凸体法等[2-4], 它们都是一些近似的方法, 存在一定的局限性。如图解法算法比较简单,但计算精度不高且受人为因素的影响, 在优化算法中, 通常以最小包容区域中一条理想直线作基准线[5], 而在实际过程中这条基准线却很难确定。本文在上述的理论基础上提出了直线度误差判定的一种数值分析方法。该方法首先建立直线度误差的相对坐标, 基于最小二乘对坐标内的离散点进行曲线拟合, 而后对其进行相似坐标变换,利用数值分析算法得到坐标变换的一系列旋转因子(旋转参数)与满足最小条件的包容区域, 最后通过比较法实现对直线度误差的数值判定。

　　1 直线度误差数值分析

　　1.1 最小二乘曲线拟合

　　直线度误差的各个测点数值为离散值, 基于最小二乘法对其进行拟合, 拟合方程为

　　式中: ai为拟合权系数, n为多项式的阶数。

　　1.2 坐标变换与最值理论

　　为了简化计算过程, 先将坐标系(x, y)旋转一角度θ(旋转因子)进行相似坐标变换, 得到一个新坐标系(X,Y), 变换过程如下[6]

　　式中:m为尺度因子, 取为1,θ为旋转因子。坐标变换示意图见图1。

　　将式(2)展开

　　即

　　由于本文中建立的坐标系(x, y)是相对坐标,θ与x、y之间相互独立, 因此式(4)、式(5)分别对θ求偏导, 得

　　式(6)除式(7)得

　　在新坐标系(X, Y)中, 满足最小条件的包容区域(一对理想平行直线) 与X轴平行, 并且与离散数据点外切,根据最值理论[7]

　　通过式(11) 计算得一系列旋转因子θi, 根据变换后的函数Yi( 拟合函数(fxi)在新坐标系下的函数值)可得在该旋转因子θi下的函数值Y(Xi), 最后通过比较法搜索到满足最小条件的旋转因子θi及其所对应的函数最大值Ymax与最小值Ymin, 直线度误差为h=Ymax-Ymin3实例验证某机床床身导轨的直线度误差测量数值(单位为μm/200mm)依次为0、+5、+5.5、-1、+1、-1、-0.5、+7, 直线度公差要求[h]=0.01mm, 直线度误差累积值见表1。

　　根据式(2)对(x, y)坐标系进行相似变换(原点不变旋转因子为θ)得新坐标系(X, Y), 在新的坐标系下找到满足最小条件的包容区域, 如图2所示。