基于行波法分析轴向受力智能梁振动特性

    引言

    机械结构振动可以由各阶振动模态叠加求得，即传统的结构动力学研究的方法。由于振动模态法( 模态分析法) 忽视了扰动在介质中的传播速度，因此在空间结构的动力分析中偏差较大。另一种方法为行波法，它可将振动视为弹性扰动在固体介质中的传播。在以控制为目的的结构动力学分析中，结构振动的行波分析方法不仅能直接给出结构的固有频率、振型和瞬态响应，有效地分析、研究结构系统能量传递的规律，还可以用于实时控制，因此被认为是结构振动控制领域最有前景的方法之一。

    von Flotow［1］对波动理论的应用作了具有开创性的研究工作，他从波动角度研究柔性航天结构的振动，给出节点散射模型的基本形式，并将梁作为基本单元研究空间桁架结构。Mace B R［2］基于均质、各向同性Euler-Bernoulli 梁的振动方程，导出波传递关系。MeiC 等［3］384-387在 Mace 的基础上推导 Timoshenko 梁的波传递关系，并给出波在不连续节点处的散射特性。Beale L S 等［4］详细地研究 Timoshenko 梁的行波模型，用波的散射方法分析框架结构的功率流。

    处于加速阶段的高速飞行器构件如梁和肋，可以视为受轴向载荷的 Timoshenko 梁模型。本文从波的观点出发，分析振动波在结构中的传播、反射和透射。给出受轴向力的 Timoshenko 梁中不同间断节点处的波透射、反射和传播矩阵。利用这些矩阵之间的关系，在文献［5］的基础上，分析轴向受载的 Timoshenko 梁的自由振动，并自编 Matlab 程序对轴向受压智能梁的动态特性进行数值计算。

    1 受轴向压力 Timoshenko 梁的自由振动方程

    考虑到轴向受力的 Timoshenko 梁的振动方程［6］为

    式中，x 是沿梁长度方向的位置坐标; t 代表时间; y( x，t)代表梁中性线的挠度; q( x，t) 代表横向均匀分布的外力; E、G 和 ρ 分别表示弹性模量、剪切模量和密度; I 是横截面相对中性轴的惯性矩; A 表示横截面积; κ 是剪切系数; ψ( x，t) 是由弯曲造成的截面转角，则［y( x，t) /x］－ ψ( x，t) 即是中性轴上由剪切变形造成的斜度; F是轴向力，且假设压力为正。式( 1a) 和式( 1b) 是梁结构中弯曲斜度和横向位移相互耦合的振动方程。

    假设时间变量是简谐函数，应用分离变量法，式( 1)的解可以分别写成 y( x，t) = y0e－ ik*xiωt和 ψ( x，t) =ψ0e－ ik*xeiωt形式，其中 ω 是圆频率，k*是波数，i 为虚数单位，y0为挠度幅值，ψ0为截面转角幅值。将上面两式分别代入式( 1a) 和式( 1b) ，求解得到一组波数，并且这些波数由圆频率 ω 和结构本身特性决定，其根为