含变轴力的变截面梁振动特性计算方法

    工程中一些结构的振动可以简化为含轴力的梁的振动问题。针对该类问题的研究，McCal-lion［1］给出了含轴力等截面梁横向自由振动的解析解; Bokaian［2 －3］为便于工程应用，给出了各种传统边界条件下含轴力等截面梁频率随轴向载荷的变化规律; 刘［4］和杨［5］分别研究了特定边界条件下含轴力等截面梁运动微分方程及固有频率。近年来，在对含轴力阶梯梁振动的研究中，Naguleswaran［6］给出了常轴压下 3 阶梯梁自由振动的解析解; Kukla［7］用格林函数法研究含轴力阶梯梁的固有频率; Mao［8 －9］用 ADM 法研究了含轴力阶梯梁的振动问题。上述研究都是针对等截面梁或受常轴力阶梯梁，而工程中常遇到受变轴力的变截面梁的振动问题，如受离心力的风机叶片、受重力的风机塔架等。对该类问题的研究，仅徐［10］针对刚度随轴线抛物线变化的变截面梁，用Frobenius 级数近似求解了含变轴力的变截面梁的振动问题，而对含变轴力的任意非均匀梁的研究未见文献涉及。本文将建立一种快速计算变轴力任意非均匀梁横向振动特性的方法，通过与有限元分析结果的比较，验证该方法的收敛性和精度。

    1 控制方程

    基于欧拉 － 伯努利梁理论，长度为 L、轴线和横向振动方向分别是 x 和 y 的梁，其自由振动方程为

    其中: y( x，t) 是梁横向挠度函数; 特征量 EI( x) 、T( x) 和( A( x) 分别为刚度、轴力和线密度，都是沿轴线长度方向连续或非连续变化的函数。对等截面梁，各特征量为常数，方程( 1) 表示为

    方程( 2) 的通解具有如下形式

y( x，t) = Y( x) T( x) ( 3)

    其中: T( t) = sin( ωt + φ) ，ω 是横向振动的固有圆频率，φ 为相位角由振动初始条件决定; Y( x) 是模态函数。因此，等截面梁在给定的边界条件下，其模态函数的解析解可以给出，进而得到计算其固有频率的特征方程。但对变截面梁的振动方程( 1) ，既无法得到解析解，也无法直接采用上述方法计算其相应的固有频率。分析发现对变截面梁的横向振动方程( 1) ，不能给出其模态函数的解析解、计算其固有频率的原因在于变截面梁的特征量 EI( x) 、T( x) 和 ρA( x) 不为常数，而是沿轴线连续或非连续变化的函数。因此，如果能将方程( 1)中的特征参数等效为常数，就可以求出其模态函数的解析解及其振动固有频率。

    基于分段思想，将变截面梁分为相互连接的若干段的组合，如图 1 所示，当段数足够多时，则每一段被视为等截面段。

    梁第 i 段长度、等效弯曲刚度、等效线密度和?等效轴力分别用 li、( EI)i、( ρA)i和 Ti表示，i =1，2，…，N，且各特征值表示为