基于Hilbert变换的信号包络提取方法研究

    在噪声控制工程中，对噪声源的精确识别是个十分重要的问题。在众多机械噪声源相互间多路径传递与复杂声振耦合条件下，缺乏相应的信息解耦处理方法，因此，需要从机械噪声源基本信息入手。对于旋转类的机械设备的振动属于线性调制（例如：柴油机、压缩机、各类泵等），这类设备在振动水平强度的周期性变化中表现出调制现象，可以通过包络谱分析技术可以提取出调制频率的线谱，为进一步实现机械噪声源分离奠定基础。

    在实信号分析中，利用构建解析信号的方法，可以得到一个实信号在复空间的映射。从这个复空间映射的方式—实部和虚部互为希尔伯特变换，以及由希尔伯特变换的两个性质：变换后信号频谱幅值不变和解析信号的实部和虚部互为正交，据此，我们可以认为，采用基于希尔伯特变换提取信号包络谱的方法就可以有效地提取调制频率及具有一定的抗噪性。

    1 ．希尔伯特变换

    一个实信号 的希尔伯特变换定义为：

    式（1）中 表示时域中的一个希尔伯特变换。与傅立叶变换等信号分析的变换不同的是时域函数的希尔伯特变换仍然在时域内。在频域中，希尔伯特变换可表示为：

    其H(f)为t/m的傅里叶变换，即

    所以，只要将 的负频率乘以 j，而正频率乘以 - j ，即可得频域内的希尔伯特变换。

    希尔伯特变换的结果也可以从傅立叶反变换中获得，即

        当输入信号里叶变换为:x(t }=sirs{2a}f,.t} H,}.，其傅里叶变换为:

    将（5）式中负频率部分乘以 j，而正频率部分乘以 - j ，则得：

    对（6）式两边同时取傅立叶反变换，可得

    由式（7）可以看出，正弦函数得希尔伯特变换就是负得余弦函数，结果是将输入信号移相了 -j；同理，如果输入信号是余弦函数，则其希尔伯特变换为正弦函数，结果也是移相了 -j，因此，希尔伯特变换可以提供 90°的相位变化而不影响频谱分量的幅度大小。

由(1)式的变换结果可得到实信号x}t}的解析信号x(t)

    于是x}t)的幅值A}t)便是信一号x{t?的包络

    对（8）式选取合适的截止频率进行低通滤波，然后作傅立叶谱分析，可以得到包络谱，这即是希尔伯特变换解调原理。

    下面以单一频率调制的余弦调幅信号为例，说明该解调分析方法。

    其中， 分别是调制信号的幅值、调制系数、调制频率和载波频率，且满足 。为简化推导已令余弦信号的初相位为零。