二阶振动系统的解耦条件及算法研究

    二阶振动系统问题频繁地产生于各种工程应用中，如舰船垂向运动系统、车桥耦合系统、质量弹簧阻尼系统、流固耦合系统以及冰载荷计算等等，因此被广泛研究［1 －4］。在对系统进行动态分析时，通常要将二阶振动系统进行解耦，即将一个多自由度的二阶振动系统解耦成多个无关的单自由度子系统。

    图 1 所示的质量弹簧系统是一个典型的二阶微分运动系统，其实质是一个二阶振动系统解耦问题。为了实现二阶振动系统的动态响应分析，Caughey 等［5］提出了经典阻尼系统三个矩阵同时对角化的充要条件，文献［6］通常采用忽略模态阻尼矩阵非对角元素的近似解耦方法来分析非经典阻尼系统，并且当模态阻尼矩阵满足对角占优［7］的情况时误差可忽略。文献［7］而通过广义特征值分解法来实现系统解耦。在文献［8－ 9］中 Garvey 等首次提出通过保持 Lancaster 结构的同谱变换来研究二阶系统的解耦，Moody 等在文献［10］中从理论上证明了几乎对所有的二阶系统都存在等价变换，文献［11］中利用保结构同谱流算法来实现二阶系统解耦，但是谱特征的保持效果并不好，如果解耦前后系统的谱性质没有得到完整的保持，那么解耦后的系统就不能代表原始系统的特征，解耦的研究也就失去了意义。因此，解耦研究的关键就是系统谱特征的保持。针对二阶振动系统的解耦问题，本文提出了二阶振动系统可解耦的条件并给出了相应的证明，利用解耦前后系统同谱的性质构造了解耦系统的三个参数矩阵，实现了二阶振动系统的同谱解耦。文中主要研究质量矩阵非奇异的正则二阶振动系统。

    1 二阶振动系统的解耦理论

    针对图 1 所示的质量弹簧振动系统建立运动方程:

Mx··( t ) + Cx·( t) + Kx( t) = f ( t) ( 1)

    其中，M，C ，K ∈ Cn ×n和 f 分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和外力向量，x( t) 表示位移矢量，x··( t) 和x·( t) 分别表示 x( t) 的二阶导和一阶导，则质量弹簧振动系统运动方程是一个典型的二阶微分方程，对于大多数二阶振动系统，M ，C ，K 满足对称性和正定性。相关的无阻尼系统是一个广义特征值问题:

Ku = λMu

    由于系数矩阵的正定性，所有特征值 λi都是正实数，并且相关的特征向量 uj是实数且关于 M 和 K 正交。定义态矩阵和谱矩阵分别为:

U = ［u1u2… un］，Ω = diag［λ1，λ2，…，λn］

    通过正交化得到:

UTMU = I，UTKU = Ω