杜芬系统检测微弱特征信号的方法及应用

　　在结构损伤检测过程中,模态参数的提取至关重要,而这些参数中,结构的振动频率是表征结构是否有损伤的重要参考指标之一。但在实际工程应用中,结构的早期损伤往往是以微小的裂纹形式出现,这些损伤反应到测试数据中,就是微弱特征信号。通常情况下微弱特征信号总是淹没在结构固有频率和强噪声背景下的,如何检测强干扰情况下该类信号的存在是信号处理研究的重要内容[1, 2]。微弱信号的检测问题在很多工程领域早已提出,各种微弱信号的检测方法层出不穷,如基于高阶谱分析检测窄带微弱信号的方法[3]、基于随机共振理论用添加噪声来检测微弱信号的方法及利用高阶统计量检测强噪声背景下的弱信号[4]的方法,但始终存在效果不理想或适应性差的问题。

　　一般情况下,在非线性系统中,系统响应是随系统参数变化而变化的。而在混沌学的研究中发现,系统发生混沌行为时,系统响应对由噪声引起的系统参数变化而产生的变化并不明显,即系统的混沌行为对噪声有一定的“免疫”功能[5]。这一研究发现,使得在强噪声背景下检测微弱特征信号变为可能。在混沌学中,一个非线性系统,其参数的变化有时会引起系统发生本质变化。这种变化反应到系统相图中就是相图由混沌态变为周期态[6, 7]。这里检测微弱特征信号的方法是将杜芬系统的参数设置为临界值,而将待测信号作为该系统的周期策动力的摄动,通过观察系统相图的变化来判断待测信号中是否含有所要寻找的微弱特征信号。

　　1　杜芬系统的分析

　　杜芬系统是混沌学中常用的非线性系统之一,其方程形式如下x¨(t) +αx·(t) +kx(t) +μx3(t) =Fcos(ωt) (1)式中,α为阻尼系数;k为线性恢复力系数;μ为非线性恢复力系数;F为周期外力的幅值;ω为周期外力的频率。当k=-1,μ=1,ω=1时,方程变为x¨(t) +αx·(t) -x(t) +x3(t) =Fcost (2)式(2)就是霍尔姆斯杜芬方程,在方程参数α=0.5的情况下,现分析系统状态随F的变化规律。

　　①当F=0时,由混沌理论知,相平面上有3个奇点:分别是鞍点(0,0)和焦点(±1,0),系统根据初始条件不同,最终将收敛到两个焦点中的一个或停留在鞍点。

　　②当F≠0时,随着周期外力F的不同,系统表现出复杂的行为。当周期外力F较小时,相轨迹表现为Poincare映射意义下的吸引子,相点围绕一个焦点或另一个焦点作周期振动。当F超过一定阈值fc时,将出现同宿轨道,并且随着F的增大,系统出现周期倍频分叉。若F继续增大,则系统进入混沌状态。当F超过另一阈值fd时,系统则进入大尺度周期运动。从上面的分析中知道,当周期外力F超过阈值fd时,系统才能从混沌态进入周期态。但阈值fd究竟为多少并不明确。通过研究表明,其实fd/α为一常数,常数值约为1. 65左右。但这一常数会随参数的变化而略有改变。此外周期外力F的变化对系统产生的影响还可以从另一角度反映,系统分叉图较好地反映了这一影响,图1所示为杜芬系统的分叉图。