基于最小二乘原理的平面任意位置椭圆的评价

　　1　引言

　　现代制造业的发展,对三坐标测量机的智能化程度要求越来越高,这需要不断的对几何量测试技术和计算技术进行深入的研究。其中的一个关键问题是如何完善和充实坐标测量机软件系统,使得误差评价更具科学性和可靠性。这要求我们研究先进的数学模型和算法。

　　三坐标测量机有点位、自定中心和扫描等多种探测模式,但无论使用何种探测模式,都是为了把被测要素表面形状信息数值化,即“采样”。因此,坐标 测量机通过测量程序测到的只是一系列离散测量点的空间坐标值,而不是需要的尺寸、位置和形状误差的结果。必须经过依据一定数学模型对这些离散坐标点集进行 数据处理,提取出代表该要素的几何特征量,才能得到所需的测量结果。

　　用最小二乘法确定被测要素的原理是:假定有一理想要素使得被测要素的各点到该理想要素的距离的平方和为最小,那么该理想要素的特征参数即为所要求的被测要素的特征参数。用最小二乘法确定的被测要素具有“唯一性”,且一般都能以数学表达式描述。

　　根据被测要素的不同,用最小二乘法导出的数学方程的复杂程度也大不相同。如被测要素为平面直线或平面时,最小二乘法导出的数学方程组是线性的;如被测要素为圆或球时,数学方程组是非线性的,但可通过变换使其线性化。

　　椭圆是人们在测量中经常遇到的一种几何形体,对它的评价有着重要的应用价值,但目前还没有尽如人意的算法。本文通过分析平面任意位置椭圆方程的特点,巧妙地将椭圆复杂的非线性方程进行变量替换,构建了线性方程,利用最小二乘原理完成了对任意位置椭圆的评价。

　　2　平面任意位置的椭圆方程

　　如图1所示,处于XY平面内任意位置的椭圆可以用下列5个独立参数来唯一确定:椭圆中心坐标(x0,y0)、长轴半径a、短轴半径b、长轴与x轴的夹角θ。用数学语言可将平面任意位置椭圆的方程表达为:

　　这是一个5元4次非线性方程,从结构和形式上看都比较复杂,很难直接用它进行最小二乘椭圆拟合。作者用下述的“变量代换”方法将此复杂的非线性方程变换成线性方程。

　　3　椭圆方程的线性化方法

　　在圆、球体等的最小二乘拟合算法中,同样存在着非线性方程的线性化问题。一般只要假设当它们的中心坐标(x0,y0)为足够小时,忽略掉含有 x0、y0的高次成分项,就可使非线性方程线性化。若(x0,y0)不是足够小,则会带来线性变换误差,这时需进行循环叠代运算,即以求得的中心坐标为新 坐标系原点,对测量数据点进行坐标变换后再进行最小二乘拟合,直到求得的中心坐标为足够小为止。而对于椭圆拟合,这种算法不再适用。分析椭圆方程的系数特 点可知,有些系数项中,根本不含x0、y0项,不能用传统的忽略高阶无穷小量的方法使椭圆方程线性化。本文直接利用变量代换,将复杂的非线性方程转化为精 确的简单线性方程,拟合过程一次完成,无需进行诸如圆、球体等线性拟合算法所需要的叠代循环运算。该方法简单、准确且高效。作变量代换,令: