基于约束Landweber迭代的重建算法

　　由投影重建图像的常用算法主要有两类：一类是解析法，基于 Fourier 切片定理，对数据完备性要求很高，目前最常用的为滤波反投影法(FBP)[1]，具有分辨率高、可实时成像等优点;另一类为迭代重建算法，经典算法为 Gorden 等提出的代数重建法(ART)[2]，其特点是开始就将连续的图像离散化，具有结构简单、有明确的物理及几何意义等特点，但

　　由于计算量大，重建速度相应减慢。随着计算机技术的飞速发展，迭代重建算法也越来越受到重视。鉴于图像重建的不适定性，本文在重建算法中将投影数据的误差引入到不等式约束中，并运用正则化技术[3]，得到带约束的正则化问题，最终运用带约束的 Landweber 投影迭代[4-5]算法(RLP)进行求解。对 ART 算法、无约束最小二乘算法(NLS)以及本文的新算法进行了计算机模拟，并比较和分析了重建结果，从而验证了新算法的优越性。

　　若系数矩阵 A 病态，投影值 B 中的噪声使得极小化问题(6)的解通常会严重偏离无噪声解，即重建图像与原图像相差甚远，因此常常是毫无价值的。为了缓和这一问题，可以对其进行正则化。由俄罗斯数学家 Tikhonov 创立的正则化方法是一种求解不适定问题颇为有效的方法。因此，我们从 Tikhonov 正则化理论出发，引入正则化参数α ，构造稳定泛函如下：

　　这样，我们就得到带约束的 Tikhonov 正则化问题。可以证明，若正则化参数选择适当，问题(8)具有稳定解并且收敛到在约束条件下的最佳近似解X 。有关证明过程见文献[5]，了解更多请参见[6-7],这里不再赘述。

　　3 数值模拟实验

　　采用自定义 Sheep Logan 头模型(64×64)进行计算机模拟。实验中对同一含有 Gauss白噪声的较少平行投影数据(0o～180o的 30 个均匀投影角度，127 个等间距探测器)分别用 ART、NLS 和 RLP 进行重建，重建结果见图 1。

　　从图 1 中我们可以发现带约束 Landweber 投影迭代法得到的图像在与无噪声原图的拟合度上超过了其他迭代算法。证实了这一算法较强的去噪能力。为了更加细致地进行对比，我们在表 1 中给出了几种算法的误差、重建时间以及迭代次数。其中相对误差指标e定义如下：

　　4 结论

　　通过将未知误差引入到不等式约束中，再对重建问题进行正则化，这样就得到了 RLP。从数值模拟结果可以看出相对于以往迭代算法，RLP 算法更加稳定，在拟合度和消噪能力上都较强，并且所花时间甚少。这将对较少投影数据的图像重建问题产生一定影响。在实际应用中，尤其是少数据投影重建中，这一算法将会收到更好的效果。