作定轴转动悬臂板的动力学建模及其动态特性分析

　　转动悬臂板的振动问题是机械工程领域中的一个重要课题,许多航空航天结构可以简化为转动的悬臂板模型,如叶轮机和涡轮发动机叶片、直升机旋翼、卫星天线以及太阳能帆板等[1]。与静止状态下相比,当悬臂板绕定轴作旋转运动时,由于动力刚化效应,使转动板的模态特性会随着转速的不同发生变化。当弯曲频率的增长幅度大于扭曲频率的增加幅度时,频率特征值轨迹就会发生“转向”或者“交叉”现象[2]。

　　为了准确地进行结构设计,需要事先掌握其动力学特性,正确估计旋转系统在不同转速下的模态特性变得尤为重要。在过去的很多文献中,通常将叶片、旋翼以及太阳能帆板简化为悬臂梁进行建模分析,如Southwell&Gough于1921年就提出了用于计算旋转梁固有频率的Southwell方程,该方程简单易用而得到广泛应用; 1958年, Schilhansl利用Ritz法导出了转动梁弯曲振动的偏微分方程,得到了更为精确的数学模型。此后,随着计算机技术的飞速发展,出现了很多利用数值方法进行转动结构模态分析的文章。Hoa&Wright(1971)考虑了末端集中质量对梁模态特性的影响;此外,Kuo,Yokoyama以及Yoo& Shin还分别研究了弹性基础、剪切变形、陀螺阻尼效应对转动梁模态特性的影响。1998年,Al-Ansary研究了转动惯量对横向转动梁的固有频率的影响;Hu(2002)利用有限元方法研究了转动梁的刚柔耦合动力学问题。

　　尽管大部分作旋转运动的结构可以简化为转动梁进行计算分析,然而对于很多低长宽比的结构,这种简化方式并不十分确切,能准确得到板式结构的模态特征,有时甚至会得出错误的结论。Chandira-mani等(2002)用复合分层板建立转动叶片的模型,并对其自由振动特性进行了研究; Yoo & Chung(2001),Yoo& Pierre(2003)先后提出了一种新的动力学建模方法,利用伸长变量和笛卡儿变量等混合变形变量,表示结构的位移场,导出了包含附加刚度项的线性运动方程,并对转动悬臂板进行了模态分析。该方法较传统方法更为简单,具有很好的连续性。此外,Hamza-chief&Houmat(2004)还利用Fou-rier p-version有限元方法对转动的悬臂柔性板进行了自由振动分析[3]。

　　笔者首先针对绕定轴转动的板类悬臂结构,用伸长变量和笛卡儿变量等混合变形变量表示其位移场,经过有限元离散,由第二类Lagrange方程导出转动悬臂板的运动微分方程;其次,讨论了长宽比、转速对转动悬臂板模态特性的影响,揭示了板的固有频率“轨迹转向”和“交叉”现象;最后,利用压电材料作为作动元件,对转动悬臂板的振动进行主动控制。

　　1　运动方程

　　1·1　运动几何关系