边界元法用于兰姆波与表面缺陷相互作用的研究

　　用兰姆波可进行快速高效的无损检测[1],对兰姆波在遇到缺陷或不连续处时发生的反射(或透射)进行理论和数值分析对于优化无损检测技术和发展新手段是非常必要的,但这又是一个难题。兰姆波传播和反射因为存在复杂的多模转换现象,所以用解析方法求解是极其困难的,与体波反射问题的研究相比,对兰姆波反射问题的研究目前还很少。

　　随着计算技术的发展,人们多采用数值方法获取难以求得解析解问题的数值解。在兰姆波问题的研究中,有些学者已用不同种数值方法尝试过,其中包括有限元法和边界元法。有限元法简单直观,是解决超声、甚至导波反射问题的常用数值模拟技术之一。国外学者曾应用有限元方法得到多层导波的频散曲线和矩形条焊缝对兰姆波的反射与透射系数等[2,3]。有限元的网格划分,尤其是对复杂结构的网格划分比较困难,而且计算时间相对较长,因此用它来求解较为复杂的导波问题有时不太方便。

　　边界元模型的建立在数学上比有限元模型复杂,但它比有限元法更容易处理无限域和边界形状复杂的问题,因为它只需对边界进行离散,而不像有限元法那样必须对整个区域进行离散。近十年来,边界元法在导波反射问题中的应用增多[4~8]。在此用边界元法对表面缺陷与兰姆波的相互作用进行了计算,观察兰姆波的模式转换现象,为兰姆波无损检测奠定一定的基础。

　　1　边界元法在导波散射问题中的计算简介

　　通常,边界元法将研究对象的边界划分为n个单元,这时就有n个节点。当超声波在固体中传播时,根据弹性动力学边界积分方程的离散化与求解方法[9],可得到对于所有n个节点的联立方程组

　　式中　H,G———系数矩阵,与材料的弹性性质及所选边界有关

　　U,T———n个节点的位移分量和表面力分量构成的向量

　　由于位移与应力均假设有x,y两个方向分量,因此对n个单元可形成2n×2n的矩阵,所以上式下标是2n×2n。将边界条件代入式(1)即可求得边界上未知的位移分量和表面力分量。有关系数矩阵及其中的各元素求法可参阅文献[9],此处不再详述。

　　兰姆波在无限大、两面自由的平板中遇到缺陷所产生的反射(或透射)问题如图1所示,这里应用常规的边界元法还有些问题尚待解决,只有将它进行一定的修正后才能应用.

　　如图1所示,用虚拟边界B ₁和B ₃将无限大自由平板分成三个部分,即左半无限板、右半无限板以及中间由B1和B3边界组成的包含表面缺陷的区域。B ₂和B ₄边界是板的上下表面,其中上表面B4上有一刻痕。B ₁和B ₃边界是两个假想的虚拟平面。此时,边界B=B ₁+B ₂+B ₃ +B ₄,在B ₂和B ₄两个边界上满足表面力自由边界条件。