机器人运动学分析与求解方法的探讨

　　机器人运动学分析就是要把机器人的空间位移量解析表示为时间的函数。特别是要研究关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系。涉及到机器人相对于固定参考坐标系运动几何学关系的分析研究。机器人运动学问题可归纳如下:

　　(1)已知杆件几何参数和关节角矢量,求机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿势;

　　(2)已知机器人杆件的几何参数,给定机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位值和姿态,机器人末端能否到达这个位置[1]。

　　第一个问题是求机器人运动学的正解;第二个问题是求机器人运动学的逆解。这两个问题贯穿机器人技术发展的始终,对于执行复杂任务的机器人的结构设计、路径规划和控制极其重要[2]。

　　1　一般机器人运动学求解方法

　　1·1　正解法

　　机器人是由多个关节组成的,各关节之间的相对平移和旋转齐次变换可以用矩阵A表示。如果用A1表示第1个连杆在基系的位置和姿态矩阵,A2表示第2个连杆相对第1个连杆的位置和姿态矩阵,根据坐标系位姿相对变换规则,第2个连杆相对基系的位置和姿态矩阵[1]:T2=A1A2

　　依此类推,则可以得出第n个连杆相对基系的位置和姿态矩阵:Tn=A1A2A3A4A5A6…An

　　以著名的斯坦福机器人为例[3],该机器人手臂有6个关节和6个杆件,首先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵An,根据运动学方程式计算规则得：

　　其余各个元素表达式也比较复杂。显然,如果机器人关节更多,其中各元素将更加复杂和难以解算。而许多科学研究用的机器人为了达到一定的灵活性通常都有8个以上的关节。这种情况下,要求出精密的数值解并绘制轨迹特性曲线图是极其困难的。

　　1·2　逆解法

　　当已知机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位值和姿态,求其相对应的各关节的转角变化量。还是以斯坦福机器人为例,设矩阵及各杆参数已知,求关节变量θ1—θ6,用A-11左乘其运动学方程式T6=A1A2A3A4A5A6的两边,得A-11T6=A2A3A4A5A6。将该式左右展开得到一个由4阶矩阵构成的代数方程式[4],求解的过程是将未知数θn由方程式中的右边移向左边,与其他未知数分开,解出这个未知数,再把下一个未知数移到左边,如此重复进行,直到解出所有未知数。很显然,比较正解法,机器人的逆解问题更加复杂和难解。一般情况下其解不是惟一的。有时会存在一些不能实现的位置和方向;有时又会出现求不出数值解的情况[1,3-4]。

　　2　用CAD/CAE集成软件仿真图形分析法

　　机械臂结构以作者所在单位研制的七关节医疗机械臂为例(图1),机械手臂是安装于可平面自由运动的基座上,由基座载体及机械臂Li(i=0,1,2,…,6)和转动关节ni(i=0,1,2,…,6)组成。由于有7个转动关节和7个杆臂,所以,采用前述机器人运动学求解方法均过于复杂和难解。因此,作者在实际研究中采用了新的思路和方法,首先运用正解法建立七关节机械臂的运动学方程,先推导出机械臂前端相对基系的位置和姿态矩阵方程T7=A01A12A23A34A45A56A67,从结构上看,该机器人是属于三维空间多关节机器人。研究项目要求机械臂能够在长200mm、宽200mm、高25mm的空间内做连续往复扫描动作。但是,在目前市场上仅能提供转角范围120°的角度传感器,因此,只能在此条件下确定合适的手臂各关节转角值、杆臂参数。在预设杆臂长度的情况下,可以考虑机械臂指尖处于最近点和最远点的情况,即处于扫描区域中心上表面原点的位置和扫描区域下表面最边缘位置时,求解T7得到其运动学的正解,即得到机械臂在理论上可到达的空间位置和姿态。据此可判定预设的结构和参数是否满足极限工作位置的要求。