叠层板结构Hamilton正则方程理论及其在发电机铁芯振动分析中的应用

    近年来,将二维或三维弹性理论表达成Hamil-ton正则方程理论体系,用解析法或半解析法研究叠层板结构问题的文献非常多[1～5]。文献[1]在圆柱坐标系下用状态方程成功地给出了环板叠层圆柱壳固有频率的精确解,但是不能用于分析不规则板叠层结构问题。本文根据文[1～8],推导了不规则板叠层结构的Hamilton正则方程,对其采用半解析法求解,即在叠层板结构的层面上采用有限元法,用混合变量Hamiltonian等参元离散板平面,而高度方向用解析法。

    以往,人们在分析发电机铁芯的振动特性时,一般将铁芯视为材料均匀、各向同性的连续体[9～11],直接应用文[12]中提供的弹性参数,但文[9]又指出“铁芯并不是均匀的,也不是各向同性的,如何确定其弹性模量E值是一个难度很大的问题”。汽轮发电机的铁芯主要是由图1所示的圆柱壳构成的,铁芯又是分段的,每段(叠片段)圆柱壳是由正交各向异性环板叠压而成的组合结构[13],每段的两端有用于绝缘的复合材料层,段之间还有通风沟,因此,结构并不是一个材料均匀的连续弹性体,而是由多种材料组成的复合结构。结构的复杂性给求解带来了许多困难,尤其是弹性模量的确定。本文应用叠层板结构的Hamilton正则方程理论分析了某汽轮发电机定子铁芯的固有频率,成功地解决了文献[9]提出的难题,为电机铁芯的振动分析和电机铁芯的最优化设计提出了一种新方法。

　　本文进一步扩展了将三维弹性理论表达成Hamilton正则方程理论的应用。

    1　Hamilton正则方程

    设叠层板的材料是正交各向异性的,其中任一层在笛卡尔坐标中的弹性力学应力-应变关系为

设不考虑体力的运动方程为

    根据文献[1],从方程(1)和(2)出发,代入应变-位移关系,可以得到Hamilton正则方程

    从Hellinger-Reissner变分原理出发[4～8],也可以得到方程(3)。若进一步对图1中的环板采用混合变量Hamiltonian等参元离散x-y平面,且设每一层所划分的有限元网格相同,用传递矩阵法可建立叠层圆柱壳的方程[5]

    是等效刚度矩阵,[[G]p[G]q]^T是与边界条件有关的作用在节点上的等效载荷。

    方程(4)把叠层圆柱壳的上表面和下表面的有关物理量联系起来,是叠层圆柱壳有关节点物理量的线性方程组,其中h是叠层圆柱壳的高度。

    2　固有频率的计算

    根据弹性力学边界条件的性质可知,向量[p,q]^T的分量在圆柱壳的上下表面分别只有一半是己知的。设己知的为{p(h)},{p(0)},未知的为{q(h)},{q(0)},于是从式(4)可得[8]