常用插值在计量中的应用

　　一、引言

　　通常情况下，检定规程、校准规范中所要求检定、校准的点不一定是企业实际应用中所需要利用的点。根据法定计量检定机构所出具的检定、校准证书中给出的检定、校准点的示值，我们可以通过插值方法合理计算得出企业实际应用中所需要点的示值。

　　表1是一份校准证书中的数据(部分)。 该校准证书数据中给出了600℃、800℃、1000℃、1200℃、1500℃、1800℃等被校温度点的被检计量器具的显示值和示值误差。 根据校准证书，我们可以很容易的应用这份证书中所给出的数据以及对应的显示值。 但是如果客户是某钢铁公司，且在温度上要求很严格，可能经常要用到1084℃(铜的熔点温度)、1535℃(铁的熔点温度)等这些证书中没有给出被校计量器具的校准点温度显示值和示值误差的值，通过给出的校准证书就很难在这两个非校准温度点得到比较精确的显示值。 我们通过两种常用的插值从而得到被校计量器具非校准温度点较为精确的显示值和示值误差。

　　二、拉格朗日插值

　　拉格朗日插值采用函数逼近的方法，通过构建拉格朗日多项式求得插值点。 当构建多项式次数越高时，则插值误差越小。 在实际应用中，考虑到运算量方便和插值误差的允许范围，我们通常采用一次拉格朗日插值，即可获得满意的效果。

　　为了应用拉格朗日插值，我们设被校温度点为xi，被校显示值为yi，如表1所示。

　　要得到铜的熔点温度(1084℃)点被校计量器具的示值，我们将x=1084代入基函数得：

　　将上述数值代入拉格朗日多项式得：

　　则通过拉格朗日插值，我们可以得出铜的熔点温度1084℃点的被校计量器具的示值为1058.8℃，同理，我们也可以得到铁的熔点温度点1535℃点的被校计量器具的示值为1475.8℃。 两点的示值误差也很容易求出。

　　三、牛顿插值

　　拉格朗日插值含义直观，构造容易，很适合在电子计算机上使用。 但是它有一个缺点：当我们用已知的n+1个数据点求出拉格朗日插值多项式后， 若又获得了新的数据点， 要用它连同原有的n+1个数据点一起求出高一次的插值多项式时，整个计算工作必须从头开始，不仅原来的每一项都要改变，还要增加一项计算。 而具有承袭性质的牛顿插值就可以很好地克服这一缺点。 这也是牛顿插值一个最重要的优点。

　　牛顿插值是建立在均差的基础上得到的。一阶均差：

　　以表1中的数据为例，xi为被校温度点的值，f(xi)为xi对应的被校计量器具的显示值， 则根据上表将该证书中的数据代入得到：