功的互等定理在四边固定厚矩形板弯曲问题中的应用

　　0引言

　　板是工程实际中经常用到的构件之一经典的弹性理论关于板的平衡、稳定与振动的理论只适用于厚跨比较小的况.因为当厚跨比较大时，经典理论的直法 线假设已不再成立.关于厚板的平衡、稳定与振动的理论应用最广的是Reissner理论.不过所有的厚板理论仍是对剪切变形作了不同的假设，而且它们的控 制方程都是阶数更高的偏微分方程.虽然从理论上讲，当约束情况和载荷情况比较简单时，求得其解析解是可能的.但对大多数情况而言，无论是直接求解还是利用 数值方法求解都是相当困难的.功的互等定理是弹性理论中的一个基本定理.利用它来求解厚板的弯曲问题将直接求解微分方程转化为求一个积分，无论约束情况和 载荷情况怎样，都可较方便地求得精确解.

　　1问题的描述

　　根据Reissner理论，当厚板受到集度为q的横向载荷时，板平均挠度的控制方程为:

　　h—板的厚度产

　　—材料的泊淞比军止—二维拉普拉斯算子与经典的弹性理论不同，板的弯曲内力素不(又与挠度有关，还与应力函数有关.而应力函数满足的控制方程为:

　　2基本解

　　如图2所示.选取只受单位横向集中力作用的简支矩形板为基本系统.方程(10)所对应的解为基本解.易于知道该基本解为:

　　由(10)及(11)不难看出，厚板弯曲问题的基本解与讨论薄板弯曲问题的基本解是一样的.对于薄板问题，方程(10)的右端项代表单位集中载荷而对于厚板它没有任何力学意义.我们不妨称之为虚拟单位集中载荷.

　　3功的互等定理法

　　对于图3所示的四边固定的实际系统，解除固定边的弯曲约束而代之以约束力矩，得到如图4所示的相当系统.由于结构对称，当其受到均布的横向载荷q时，其约束力矩必然也是对称的.即可假设:

　　上述含有待定系数的挠度函数可借助于相应的边界条件得到它的具体形式.关于应力函数，我们可以验证，下列形式的沪能满足方程(2)·

　　　容易验证，(12)及(13)满足每边挠度和切向转角为零的条件.

　　为加快级数收敛，可将(12)转化为含双曲函数的单三角级数形式.依次分别记为W;，W:，W3，W;，具体形式如下:

　　根据x=。及y=O边界法向转角为零的边界条件可得如下两个方程:

　　由于问题的对称性，如果利用x=a及y=b边界法向转角为零的边界条件，得到的两个方程将与上述两个方程完全一样.

　　方程(14)、(15)是关于系数A。、坑的线性方程组.取m、n为某一定数，则可解得A，、B切的值.因而可得与(12)、(13)相对应的挠度函数和应力函数的具体形式.从而可以通过(3)~(6)求得任意点的转角及内力素.