最小二乘法在工作测力仪二次曲线回归中的应用

　　工作测力仪包括百分表式测力仪、管形测力计和机械式拉力表，液压千斤顶在对其进行检定的过程中，只对其示值检定点进行检定。但是，在实际工作中经常会用到检定点以外的力值，然而由于这些点没有经过检定，因而在使用过程中常因该点的力值超差而对工作造成影响，因此需要对工作测力仪进行曲线拟合，目的就是通过拟合之后，使所求拟合值更接近真值。线性较好的测力仪(如机械式拉力表)可以用直线拟合，求其测量值。但是对于线性不太好的工作测力仪(如测力环)，就需要用其他的拟合方法求其回归方程，并通过求得的回归方程来求其测量值。

　　一、基于最小二乘法的工作测力仪回归方程

　　最小二乘法是对给定的一组数据 (xi，yi)(i=1，2， ，n)，在函数类中寻求一个“最好”的函数φ(x)，使φ(x)≈f(x)，并满足偏差δi的平方和为最小的条件。这样，φ(x)能从整体上反映出数据的基本变化趋势。

　　由于很多工作测力仪的回归是非一次的，而是二次或n次的，所以工作测力仪及千斤顶回归采用最小二乘法。

　　下面以工作测力仪为例，用最小二乘法对表 1 中的数据进行拟合回归分析。

　　建立数学模型：

　　式中：xi、yi都是试验数据，是已知数;而a、b、c是待定的 3 个未知的回归系数。

　　我们引入β=(a、b、c)τ，X=(x2，x，1)，则Y=Xβ+ε;最小二乘估计是确定β使

　　分别对a、b、c求偏导，经计算得：

　　二、二次回归方程拟合效果的分析

　　根据最小二乘曲线拟合原理，分析比较误差项，最后用 Excel 编写回归软件。现将表 1 中标准负荷(kN)为0、1、2、3、4、6、8、10 的数据代入回归软件，得：

　　a=2.63×10-4，b=8.93837×10-1，c=- 2.7×10-4

　　代入回归方程：

　　yi=2.63×10-4xi2+8.93837×10-1xi- 2.7×10-4

　　用回归方程计算的拟合结果如表2所示。

　　现将没有参加拟合的标准负荷点F=5kN 代入回归方程，求得示值L′=4.475492mm。

　　式中：4.474kN为F=5kN的测试数据。

　　经计算后，用回归方程计算出来的结果与测量值相对误差均在规程要求的 0.3%以内，而未计在拟合过程中使用的F=5kN 点用回归方程求得值与该点的测量值误差为 0.033%，也满足规程中要求的 0.3%，拟合效果很好。

　　三、总结

　　利用最小二乘法对工作测力仪进行拟合回归，通过分析计算得出了工作测力仪的二次回归方程，用此算法可获得与实际更为接近的工作测力仪的结果。实践证明，工作测力仪二次回归方程的应用价值大，可以提高工作测力仪的测量准确度，扩展工作测力仪的测量范围，并提高现有仪器的使用效率。