钟表齿轮的力学数学模型及其实验研究

　　1　零件的力学模型及固有频率的计算

　　目前,齿轮构件的生产加工工艺有两种:一种是齿轮与齿轴分别加工后,再经过盈配合或花键配合后翻边点铆而联接在一起;二是齿轮构件直接经挤压加工工艺而成型。在此将齿轮简化成图1所示受均布惯性载荷作用的内园周边简支或固结的园环形薄板。其中简支模型较适合于翻边点铆齿轮,而周边固结模型则适合于直接挤压成型齿轮。在确定零件的力学模型后,需对零件的固有频率进行计算。因为在选择静力分析方法还是动力分析方法来研究零件的应力与变形时,应综合考虑零件的固有频率和载荷性质。对于图1所示齿轮的力学模型,主要计算齿轮的变曲振动固有频率。文献[3]给出了这一固有频率的计算式:式中,b为园板外园半径,ρ为板面密度,h为板厚,D为板的弯曲刚度;而αns称为频率常数,其值取决于节径数n和节园数s以及边界约束条件。文献[3]给出了各种边界约束条件下αns的值。

　　根据上述讨论,分析计算了一些引信钟表远解部件的齿轮最小自振周期,表1给出了其中的两个计算结果。从计算结果来看,齿轮的最小自振周期大都为几十个微妙,而通常各种火炮发射过载的载荷上升前沿为若干个毫妙。因此,在研究发射过程中齿轮的应力与应变时,发射过载可认为是静载荷[4]。对一些几何形体较为复杂的齿轮零件,其最小自振周期可用动力有限元方法来计算。

　　2　齿轮的应力与变形分析

　　根据工程实践情况,绝大多数钟表齿轮都满足小挠度条件W≤(0.2～0.3)h,且齿轮厚度h远小于其径向尺寸。因此,可采用薄板小挠度理论来分析齿轮的应力与变形。由图1所示的齿轮力学模型可知,齿轮板承受均布载荷q(r,θ)=q的作用,板发生对称于板中心的垂直轴z的弯曲,即为轴对称问题;此时变形与内力和θ无关,故挠度微分方程

　　而应力分量则可由弯矩分量导出σr=12Mrh3z,σθ=12Mθh3z。上述各式中的待定系数K1、K2、K3和K4由具体问题的边界条件确定,μ为材料的泊松比。

　　采用图1(a)所示内园周边简支模型,此时边界条件为Mr r=a=0,Mr r=b=0;Qr r=b=0,Wr r=a=0。将上述边界条件代入(1),(2)和(3)式,并采用下述符号：

　　根据上述结果分析计算了迫—b引信钟表远解部件的过渡齿轮在加速度过载为Agm=7 350 g时的应力,并在图2给出了两种力学模型的σr与σθ的变化规律。对于形状复杂的某些原动机齿轮和卡摆,则难以获得上述形式的解析解,此时可采用有限元方法来求得问题的数值解。需要说明的是,对于不满足小挠度条件的情况,则应采用薄板大变形弯曲理论来建立数学模型,并采用小参数摄动法求解[5]。